3.3 Fonctions convexes
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Elle est dite strictement convexe si l’inégalité ci-dessus est stricte lorsque x
= y et
u ∈]0, 1[.
Théorème 3.8 Soit f : U → R une fonction différentiable sur un ouvert U d’un Respace de Banach E et soit C un sous-ensemble convexe de U . Alors f |C est convexe
si et seulement si, pour tous x, y ∈ C,
f (y) ≥ f (x) + d f (x) · (y − x) .
Elle est strictement convexe si l’inégalité ci-dessus est stricte pour x
= y. En supposant en outre que f est deux fois différentiable, f |C est convexe si et seulement si pour
tous x, y ∈ C,
d
2 f (x) · (y − x, y − x) ≥ 0 .
Elle est strictement convexe si l’inégalité ci-dessus est stricte pour x = y.
Démonstration. Supposons f convexe. Soient x, y ∈ C et u ∈]0, 1]. On a
f (x + u(y − x)) − f (x)
u
≤ f (y) − f (x) ,
d’où d f (x)·(y − x) ≤ f (y) − f (x) en faisant tendre u vers 0. Si f est strictement convexe, on a une inégalité stricte pour x = y et u ∈]0, 1[, mais elle
devient large dans le passage à la limite. Pour démontrer qu’effectivement
d f (x) · (y − x) < f (y) − f (x), on observe que pour tout v > 0,
x + u(y − x) =
v − u
v
x +
v
v
(x + v(y − x)) ,
d’où, pour 0 < u < v < 1,
f (x + u(y − x)) − f (x)
u
<
f (x + v(y − x)) − f (x)
v
< f (y) − f (x) .
On obtient l’inégalité stricte souhaitée en gardant v fixé et en faisant tendre
u vers 0. Réciproquement, si l’on a f (y) ≥ f (x) + d f (x) · (y − x) quels
que soient x et y ∈ C, on obtient l’inégalité de convexité en prenant la
combinaison convexe des inégalités
f (x) ≥ f (x + u(y − x)) − u d f (x + u(y − x)) · (y − x) ,
f (y) ≥ f (x + u(y − x)) + (1 − u) d f (x + u(y − x)) · (y − x) .
Pour la caratérisation de la convexité en terme de différentielles secondes, on
peut considérer, à x fixé, la fonction g : y → f (y) − d f (x) · (y). La différence avec f étant une fonction affine, g est convexe si et seulement si f l’est,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Elle est dite strictement convexe si l’inégalité ci-dessus est stricte lorsque x
= y et
u ∈]0, 1[.
Théorème 3.8 Soit f : U → R une fonction différentiable sur un ouvert U d’un Respace de Banach E et soit C un sous-ensemble convexe de U . Alors f |C est convexe
si et seulement si, pour tous x, y ∈ C,
f (y) ≥ f (x) + d f (x) · (y − x) .
Elle est strictement convexe si l’inégalité ci-dessus est stricte pour x
= y. En supposant en outre que f est deux fois différentiable, f |C est convexe si et seulement si pour
tous x, y ∈ C,
d
2 f (x) · (y − x, y − x) ≥ 0 .
Elle est strictement convexe si l’inégalité ci-dessus est stricte pour x = y.
Démonstration. Supposons f convexe. Soient x, y ∈ C et u ∈]0, 1]. On a
f (x + u(y − x)) − f (x)
u
≤ f (y) − f (x) ,
d’où d f (x)·(y − x) ≤ f (y) − f (x) en faisant tendre u vers 0. Si f est strictement convexe, on a une inégalité stricte pour x = y et u ∈]0, 1[, mais elle
devient large dans le passage à la limite. Pour démontrer qu’effectivement
d f (x) · (y − x) < f (y) − f (x), on observe que pour tout v > 0,
x + u(y − x) =
v − u
v
x +
v
v
(x + v(y − x)) ,
d’où, pour 0 < u < v < 1,
f (x + u(y − x)) − f (x)
u
<
f (x + v(y − x)) − f (x)
v
< f (y) − f (x) .
On obtient l’inégalité stricte souhaitée en gardant v fixé et en faisant tendre
u vers 0. Réciproquement, si l’on a f (y) ≥ f (x) + d f (x) · (y − x) quels
que soient x et y ∈ C, on obtient l’inégalité de convexité en prenant la
combinaison convexe des inégalités
f (x) ≥ f (x + u(y − x)) − u d f (x + u(y − x)) · (y − x) ,
f (y) ≥ f (x + u(y − x)) + (1 − u) d f (x + u(y − x)) · (y − x) .
Pour la caratérisation de la convexité en terme de différentielles secondes, on
peut considérer, à x fixé, la fonction g : y → f (y) − d f (x) · (y). La différence avec f étant une fonction affine, g est convexe si et seulement si f l’est,
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