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3 • Extrema
Démonstration. Soit F le sous-espace vectoriel de R
p+1 , image de E par
l’application linéaire
x → (c(x), c 1 (x), . . . , c p (x)) .
D’après l’hypothèse, a := (1, 0, . . . , 0) n’appartient pas à F (qui est donc
de dimension au plus p). Par conséquent il existe un hyperplan H de R
p+1
qui contienne F et pas a (si F est un hyperplan, il n’y a rien à faire ; sinon,
on considère une base (e 1 , · · · , e q ) de F : comme {a, e 1 , · · · , e q } est une
famille indépendante on peut la compléter en une base (a, e 1 , · · · , e p ) de
R
p+1 , et ainsi définir H comme l’hyperplan engendré par (e 1 , · · · , e p )). Soit
alors une équation cartésienne de H :
ly 0 +
p
j=1
l j y j = 0 .
On a l = 0 puisque a /
∈ F, et pour tout x ∈ E,
lc(x) +
p
j=1
l j c j (x) = 0 .
Autrement dit, c =
1
l
p
j=1 l j c j .
Jusqu’à présent, nous avons considéré des problèmes d’extremum sur des ensembles
vérifiant une propriété topologique essentielle : celle d’être ouvert. Il est en effet
important de noter que les conditions nécessaires d’extremum local de la proposition
3.2 et des théorèmes 3.3, 3.5 sont fausses lorsque U n’est pas un ouvert. (On le voit par
exemple pour les fonctions monotones [a, b] → R.) Nous allons maintenant considérer
des problèmes d’extremum sur des ensembles ayant la propriété géométrique d’être
convexes.
3.3 FONCTIONS CONVEXES
3.3.1 Convexité, différentiabilité et minimisation
Définition 3.7 Un sous-ensemble C d’un R-espace vectoriel E est dit convexe si
pour tous x, y ∈ C, pour tout u ∈ [0, 1], ux + (1 − u)y ∈ C. Une fonction f définie
sur un convexe C et à valeurs dans R est dite convexe si pour tous x, y ∈ C, pour
tout u ∈ [0, 1],
f (ux + (1 − u)y) ≤ u f (x) + (1 − u) f (y) .
3 • Extrema
Démonstration. Soit F le sous-espace vectoriel de R
p+1 , image de E par
l’application linéaire
x → (c(x), c 1 (x), . . . , c p (x)) .
D’après l’hypothèse, a := (1, 0, . . . , 0) n’appartient pas à F (qui est donc
de dimension au plus p). Par conséquent il existe un hyperplan H de R
p+1
qui contienne F et pas a (si F est un hyperplan, il n’y a rien à faire ; sinon,
on considère une base (e 1 , · · · , e q ) de F : comme {a, e 1 , · · · , e q } est une
famille indépendante on peut la compléter en une base (a, e 1 , · · · , e p ) de
R
p+1 , et ainsi définir H comme l’hyperplan engendré par (e 1 , · · · , e p )). Soit
alors une équation cartésienne de H :
ly 0 +
p
j=1
l j y j = 0 .
On a l = 0 puisque a /
∈ F, et pour tout x ∈ E,
lc(x) +
p
j=1
l j c j (x) = 0 .
Autrement dit, c =
1
l
p
j=1 l j c j .
Jusqu’à présent, nous avons considéré des problèmes d’extremum sur des ensembles
vérifiant une propriété topologique essentielle : celle d’être ouvert. Il est en effet
important de noter que les conditions nécessaires d’extremum local de la proposition
3.2 et des théorèmes 3.3, 3.5 sont fausses lorsque U n’est pas un ouvert. (On le voit par
exemple pour les fonctions monotones [a, b] → R.) Nous allons maintenant considérer
des problèmes d’extremum sur des ensembles ayant la propriété géométrique d’être
convexes.
3.3 FONCTIONS CONVEXES
3.3.1 Convexité, différentiabilité et minimisation
Définition 3.7 Un sous-ensemble C d’un R-espace vectoriel E est dit convexe si
pour tous x, y ∈ C, pour tout u ∈ [0, 1], ux + (1 − u)y ∈ C. Une fonction f définie
sur un convexe C et à valeurs dans R est dite convexe si pour tous x, y ∈ C, pour
tout u ∈ [0, 1],
f (ux + (1 − u)y) ≤ u f (x) + (1 − u) f (y) .