3.2 Extrema liés
79
isomorphisme de F sur R
p , par hypothèse sur les fonctions g i : en effet, dans
la base (h 1 , . . . , h p ) de F et la base canonique de R
p , sa matrice jacobienne
est la matrice de coefficients c i (h j ) = d
j
i , c’est-à-dire la matrice identité.
Donc le théorème des fonctions implicites montre qu’il existe un voisinage
V 0 de 0 dans U (image par J d’un voisinage de (0, 0) dans G × F), et une
application w définie sur un voisinage W 0 de 0 dans G tels que
g 1 (x) = 0 , . . . , g p (x) = 0 x ∈ V 0
⇔
x = z + w(z) .
Par conséquent, 0 est un minimum local de f sous les contraintes g 1 , . . . , g p
si et seulement si 0 est un minimum local de la fonction g : z → g(z) :=
f (z + w(z)). Une condition nécessaire est donc dg(0) = 0, c’est-à-dire
d f (0) · (k + dw(0) · k) = 0 pour tout k ∈ G .
Or par construction de w on a précisément dw(0)·k = 0 pour tout k ∈ G. En
effet, comme w est à valeurs dans l’espace vectoriel F = Vect (h 1 , . . . , h p ),
il suffit de montrer que c i (dw(0) · k) = 0 quel que soit i ∈ {1, . . . , p} :
ceci s’obtient par différentiation de la fonction
z → g i (z + w(z)) ,
qui est identiquement nulle, en utilisant le fait que dg i (0) · k = c i (k) = 0
pour k ∈ G (par définition de G).
On a donc montré que d f (0) · k = 0 pour tout k ∈ G. Autrement dit, en
notant pour simplifier c = d f (0), on a
Vect (c 1 , . . . , c p )
⊥ ⊂
Vect (c)
⊥
.
On en déduit, grâce au lemme algébrique classique rappelé ci-après :
Vect (c) ⊂ Vect (c 1 , . . . , c p )
c’est-à-dire que c est effectivement une combinaison linéaire des c i .
Lemme 3.6 Soient c, c 1 , . . . , c p , des formes linéaires sur un espace vectoriel E. Si
p
i=1
Ker c i ⊂ Ker c
alors c est combinaison linéaire des c i .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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isomorphisme de F sur R
p , par hypothèse sur les fonctions g i : en effet, dans
la base (h 1 , . . . , h p ) de F et la base canonique de R
p , sa matrice jacobienne
est la matrice de coefficients c i (h j ) = d
j
i , c’est-à-dire la matrice identité.
Donc le théorème des fonctions implicites montre qu’il existe un voisinage
V 0 de 0 dans U (image par J d’un voisinage de (0, 0) dans G × F), et une
application w définie sur un voisinage W 0 de 0 dans G tels que
g 1 (x) = 0 , . . . , g p (x) = 0 x ∈ V 0
⇔
x = z + w(z) .
Par conséquent, 0 est un minimum local de f sous les contraintes g 1 , . . . , g p
si et seulement si 0 est un minimum local de la fonction g : z → g(z) :=
f (z + w(z)). Une condition nécessaire est donc dg(0) = 0, c’est-à-dire
d f (0) · (k + dw(0) · k) = 0 pour tout k ∈ G .
Or par construction de w on a précisément dw(0)·k = 0 pour tout k ∈ G. En
effet, comme w est à valeurs dans l’espace vectoriel F = Vect (h 1 , . . . , h p ),
il suffit de montrer que c i (dw(0) · k) = 0 quel que soit i ∈ {1, . . . , p} :
ceci s’obtient par différentiation de la fonction
z → g i (z + w(z)) ,
qui est identiquement nulle, en utilisant le fait que dg i (0) · k = c i (k) = 0
pour k ∈ G (par définition de G).
On a donc montré que d f (0) · k = 0 pour tout k ∈ G. Autrement dit, en
notant pour simplifier c = d f (0), on a
Vect (c 1 , . . . , c p )
⊥ ⊂
Vect (c)
⊥
.
On en déduit, grâce au lemme algébrique classique rappelé ci-après :
Vect (c) ⊂ Vect (c 1 , . . . , c p )
c’est-à-dire que c est effectivement une combinaison linéaire des c i .
Lemme 3.6 Soient c, c 1 , . . . , c p , des formes linéaires sur un espace vectoriel E. Si
p
i=1
Ker c i ⊂ Ker c
alors c est combinaison linéaire des c i .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit