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3 • Extrema
g 1 (a) = 0 . . . g p (a) = 0 est un minimum local de f sous les contraintes g 1 , . . . , g p
s’il existe un voisinage ouvert V a de a tel que
f (x) ≥ f (a) pour tout x ∈ V a tel que g 1 (x) = 0, . . . , g p (x) = 0 .
On va obtenir ici une condition nécessaire pour qu’un point soit un minimum local
sous contraintes lorsque les fonctions f et g 1 , . . . , g p sont continûment différentiables.
On dira que les contraintes g 1 , . . . , g p sont indépendantes au point a ∈ U si la
famille de formes linéaires continues { dg 1 (a), . . . , dg p (a)} est libre.
Théorème 3.5 (multiplicateurs de Lagrange) Soient f et g 1 , . . . , g p des fonctions de
classe C
1 sur un ouvert U d’un espace de Banach E et à valeurs réelles. Soit a ∈ U
tel que g 1 (a) = 0, . . . , g p (a) = 0 et les contraintes g 1 , . . . , g p soient indépendantes
au point a. Si a est un minimum local de f sous les contraintes g 1 , . . . , g p alors il
existe des réels l 1 , . . . , l p tels que d f (a) = l 1 dg 1 (a) + · · · + dg p (a) .
Dans cet énoncé les nombres l 1 , . . . , l p sont appelés des multiplicateurs de
Lagrange.
Démonstration. Grâce au théorème des fonctions implicites (par une généralisation de ce qui avait été fait dans l’exercice 1.14), on va se ramener au
cas d’un minimum libre. On peut supposer sans perte de généralité a = 0.
(Il suffit de considérer la fonction x → f (x − a) au lieu de f .) Notons pour
simplifier c i := dg i (0) pour tout i ∈ {1, . . . , p}. Soit
G =
Vect (c 1 , . . . , c p )
⊥
:= { h ∈ E ; c i (h) = 0 , i ∈ {1, . . . , p} } .
Puisque la famille (c 1 , . . . , c p ) est libre, il existe une famille de p vecteurs
h 1 , . . . , h p ∈ E indépendants tels que c i (h j ) = d
j
i (symbole de Kronecker,
valant 1 si i = j et 0 sinon). Alors le sous-espace F = Vect (h 1 , . . . , h p )
est tel que G ⊕ F = E, c’est-à-dire que pour tout x ∈ E il existe un unique
couple (z, y) ∈ G × F tel que x = z + y. On a donc un isomorphisme
J : G × F → E
(z, y) → x = z + y .
La continuité de la réciproque découle du théorème 0.1 (Banach), mais aussi
de la formule explicite : y =
p
i=1 c i (x) h i . Considérons alors la fonction
G × F → R
p
(z, y) → ( g 1 (z + y), . . . , g p (z + y) ) .
C’est une fonction de classe C
1 (comme fonction composée de fonctions de
classe C
1 ) et sa différentielle partielle par rapport à y au point (0, 0) est un
3 • Extrema
g 1 (a) = 0 . . . g p (a) = 0 est un minimum local de f sous les contraintes g 1 , . . . , g p
s’il existe un voisinage ouvert V a de a tel que
f (x) ≥ f (a) pour tout x ∈ V a tel que g 1 (x) = 0, . . . , g p (x) = 0 .
On va obtenir ici une condition nécessaire pour qu’un point soit un minimum local
sous contraintes lorsque les fonctions f et g 1 , . . . , g p sont continûment différentiables.
On dira que les contraintes g 1 , . . . , g p sont indépendantes au point a ∈ U si la
famille de formes linéaires continues { dg 1 (a), . . . , dg p (a)} est libre.
Théorème 3.5 (multiplicateurs de Lagrange) Soient f et g 1 , . . . , g p des fonctions de
classe C
1 sur un ouvert U d’un espace de Banach E et à valeurs réelles. Soit a ∈ U
tel que g 1 (a) = 0, . . . , g p (a) = 0 et les contraintes g 1 , . . . , g p soient indépendantes
au point a. Si a est un minimum local de f sous les contraintes g 1 , . . . , g p alors il
existe des réels l 1 , . . . , l p tels que d f (a) = l 1 dg 1 (a) + · · · + dg p (a) .
Dans cet énoncé les nombres l 1 , . . . , l p sont appelés des multiplicateurs de
Lagrange.
Démonstration. Grâce au théorème des fonctions implicites (par une généralisation de ce qui avait été fait dans l’exercice 1.14), on va se ramener au
cas d’un minimum libre. On peut supposer sans perte de généralité a = 0.
(Il suffit de considérer la fonction x → f (x − a) au lieu de f .) Notons pour
simplifier c i := dg i (0) pour tout i ∈ {1, . . . , p}. Soit
G =
Vect (c 1 , . . . , c p )
⊥
:= { h ∈ E ; c i (h) = 0 , i ∈ {1, . . . , p} } .
Puisque la famille (c 1 , . . . , c p ) est libre, il existe une famille de p vecteurs
h 1 , . . . , h p ∈ E indépendants tels que c i (h j ) = d
j
i (symbole de Kronecker,
valant 1 si i = j et 0 sinon). Alors le sous-espace F = Vect (h 1 , . . . , h p )
est tel que G ⊕ F = E, c’est-à-dire que pour tout x ∈ E il existe un unique
couple (z, y) ∈ G × F tel que x = z + y. On a donc un isomorphisme
J : G × F → E
(z, y) → x = z + y .
La continuité de la réciproque découle du théorème 0.1 (Banach), mais aussi
de la formule explicite : y =
p
i=1 c i (x) h i . Considérons alors la fonction
G × F → R
p
(z, y) → ( g 1 (z + y), . . . , g p (z + y) ) .
C’est une fonction de classe C
1 (comme fonction composée de fonctions de
classe C
1 ) et sa différentielle partielle par rapport à y au point (0, 0) est un