3.2 Extrema liés
77
Les conditions de la proposition 3.2 s’étendent comme suit aux fonctions définies
sur un ouvert d’espace de Banach.
Théorème 3.3 Soit f une fonction définie sur un ouvert U d’un espace de Banach
E et à valeurs réelles, différentiable en a ∈ U . Si a est un minimum local de f alors
d f (a) = 0. Si de plus f est deux fois différentiable en a, alors d
2 f (a) · (h, h) ≥ 0
pour tout h ∈ E. « Inversement » si b ∈ U est tel que d f (b) = 0 et il existe C > 0
avec d
2 f (b) · (h, h) ≥ C h
2 pour tout h ∈ E alors b est un minimum local de f .
Démonstration. Les conditions nécessaires sont des conséquences immédiates de la proposition 3.2. En effet, si a est un minimum local de f
alors, quel que soit h ∈ E, 0 est un minimum local de la fonction d’une
variable réelle g : t → g(t) := f (a + th). Or g
(a) = d f (a) · h et
g
(a) = d
2 f (a) · (h, h). Pour les conditions suffisantes, on applique la
formule de Taylor–Young à f . On a en effet
f (b + h) − f (b) −
1
2 d
2 f (b) · (h, h) = ´(h) h
2
avec lim h→0 ´(h) = 0. Donc il existe h > 0 tel que pour h ≤ h,
|´(h)| ≤
C
4 , d’où
f (b + h) − f (b) ≥
C
4
h
2
≥ 0
pour h ≤ h.
Remarque : En dimension finie, l’existence de C > 0 tel que d
2 f (b) · (h, h) ≥
C h
2 pour tout vecteur h ∈ E équivaut à d
2 f (b) · (h, h) > 0 quel que soit
h = 0 E . En effet la fonction continue h → d
2 f (b) · (h, h) atteint son minimum
sur la sphère unité (qui est compacte si E est de dimension finie). Par bilinéarité
de d
2 f (b) on en déduit l’inégalité voulue avec C := min h=1 d
2 f (b) · (h, h).
De plus, pour avoir d
2 f (b) · (h, h) > 0 quel que soit h
= 0 E , il faut et il suffit
que la matrice hessienne de f en b, c’est-à-dire la matrice symétrique réelle de
coefficients
∂
2 f
∂x j ∂x j
(b) ait ses valeurs propres toutes strictement positives. Car
toute matrice symétrique réelle est diagonalisable sur R : ceci se démontre grâce
au théorème des multiplicateurs de Lagrange que nous allons voir au prochain
paragraphe (voir l’exercice 3.1).
3.2 EXTREMA LIÉS
Définition 3.4 Si f et g 1 , . . . , g p sont des fonctions définies sur un ouvert
U d’un espace de Banach E et à valeurs réelles, un point a ∈ U tel que
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Les conditions de la proposition 3.2 s’étendent comme suit aux fonctions définies
sur un ouvert d’espace de Banach.
Théorème 3.3 Soit f une fonction définie sur un ouvert U d’un espace de Banach
E et à valeurs réelles, différentiable en a ∈ U . Si a est un minimum local de f alors
d f (a) = 0. Si de plus f est deux fois différentiable en a, alors d
2 f (a) · (h, h) ≥ 0
pour tout h ∈ E. « Inversement » si b ∈ U est tel que d f (b) = 0 et il existe C > 0
avec d
2 f (b) · (h, h) ≥ C h
2 pour tout h ∈ E alors b est un minimum local de f .
Démonstration. Les conditions nécessaires sont des conséquences immédiates de la proposition 3.2. En effet, si a est un minimum local de f
alors, quel que soit h ∈ E, 0 est un minimum local de la fonction d’une
variable réelle g : t → g(t) := f (a + th). Or g
(a) = d f (a) · h et
g
(a) = d
2 f (a) · (h, h). Pour les conditions suffisantes, on applique la
formule de Taylor–Young à f . On a en effet
f (b + h) − f (b) −
1
2 d
2 f (b) · (h, h) = ´(h) h
2
avec lim h→0 ´(h) = 0. Donc il existe h > 0 tel que pour h ≤ h,
|´(h)| ≤
C
4 , d’où
f (b + h) − f (b) ≥
C
4
h
2
≥ 0
pour h ≤ h.
Remarque : En dimension finie, l’existence de C > 0 tel que d
2 f (b) · (h, h) ≥
C h
2 pour tout vecteur h ∈ E équivaut à d
2 f (b) · (h, h) > 0 quel que soit
h = 0 E . En effet la fonction continue h → d
2 f (b) · (h, h) atteint son minimum
sur la sphère unité (qui est compacte si E est de dimension finie). Par bilinéarité
de d
2 f (b) on en déduit l’inégalité voulue avec C := min h=1 d
2 f (b) · (h, h).
De plus, pour avoir d
2 f (b) · (h, h) > 0 quel que soit h
= 0 E , il faut et il suffit
que la matrice hessienne de f en b, c’est-à-dire la matrice symétrique réelle de
coefficients
∂
2 f
∂x j ∂x j
(b) ait ses valeurs propres toutes strictement positives. Car
toute matrice symétrique réelle est diagonalisable sur R : ceci se démontre grâce
au théorème des multiplicateurs de Lagrange que nous allons voir au prochain
paragraphe (voir l’exercice 3.1).
3.2 EXTREMA LIÉS
Définition 3.4 Si f et g 1 , . . . , g p sont des fonctions définies sur un ouvert
U d’un espace de Banach E et à valeurs réelles, un point a ∈ U tel que
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit