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3 • Extrema
plus g est deux fois dérivable en a, alors g
(a) ≥ 0. « Inversement » si b ∈ I est tel
que g
(b) = 0 et g
(b) > 0 alors b est un minimum local de g.
Démonstration. Par définition de la dérivabilité,
g(t) − g(a) − (t − a) g
(a) = ´(t) (t − a)
avec lim t→a ´(t) = 0. Si g
(a) = 0, supposons par exemple g
(a) > 0,
alors il existe h > 0 tel que pour |t − a| ≤ h, |´(t)| ≤
1
2 g
(a), d’où
g(t) − g(a) = (g
(a) − ´(t) ) (t − a) ≤
1
2 g
(a) (t − a) < 0
pour a − h ≤ t < a. Donc a ne peut pas être un minimum local.
Si g est deux fois dérivable, supposons que a soit un minumum local de g.
Alors g
(a) = 0 d’après ce qui précède. Supposons g
(a) < 0. Comme
d’après la formule de Taylor–Young
g(t) − g(a) −
1
2 (t − a)
2 g
(a) = ´(t) (t − a)
2
avec lim t→a ´(t) = 0, il existe h > 0 tel que pour |t − a| ≤ h, |´(t)| ≤
−
1
4 g
(a), d’où
g(t) − g(a) = (
1
2 g
(a) − ´(t) ) (t − a)
2
≤
1
4 g
(a) (t − a)
2 < 0
pour |t − a| ≤ h, t = a. Donc a ne peut pas être un minimum local.
Enfin, si g
(b) = 0 et g
(b) > 0 alors
g(t) − g(b) −
1
2 (t − b)
2 g
(b) = ´(t) (t − b)
2
avec lim t→b ´(t) = 0, et donc il existe h > 0 tel que pour |t − b| ≤ h,
|´(t)| ≤
1
4 g
(b), d’où
g(t) − g(b) = (
1
2 g
(b) − ´(t) ) (t − b)
2
≥
1
4 g
(b) (t − b)
2
≥ 0
pour |t − b| ≤ h.
Remarque : Les conditions g
(a) = 0 et g
(a) ≥ 0 ne sont évidemment pas
suffisantes (considérer par exemple g(t) = t
3 en t = 0) et la condition g
(b) >
0 n’est pas nécessaire (voir g(t) = t
4 en t = 0).