Chapitre 3
Extrema
Dans ce chapitre on considère des fonctions à valeurs réelles, et l’on s’intéresse à leurs
extrema, c’est-à-dire à leurs minima et maxima. On parlera en fait essentiellement de
minima, les maxima d’une fonction f pouvant toujours être vus comme les minima
de − f .
3.1 EXTREMA LIBRES
Définition 3.1 Si f est une fonction définie sur une partie D d’un espace de Banach
E et à valeurs réelles, un point a ∈ U est un minimum local de f s’il existe un
voisinage V a de a, ouvert dans D, tel que
f (x) ≥ f (a) pour tout x ∈ V a .
On dira que a est un minimum global de f si
f (x) ≥ f (a) pour tout x ∈ U .
Un minimum est dit strict si l’inégalité est stricte, c’est-à-dire f (x) > f (a), pour
x = a.
L’objectif ici est de dégager des conditions nécessaires et/ou suffisantes pour avoir
un minimal local selon le degré de différentiabilité de f .
Commençons par rappeler ce que l’on sait dans le cas E = R.
Proposition 3.2 Soit g une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R et à valeurs
dans R, dérivable en a ∈ I . Si a est un minimum local de g alors g
(a) = 0. Si de