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2 • Différentielles d’ordre supérieur
iii). En déduire qu’il existe ∈ L(R
n ) et b ∈ R
n tels que f (x) = (x) + b pour tout
x ∈ R
n .
iv). Montrer que f est un difféormorphisme de classe C
∞ de R
n sur R
n .
Exercice 2.6
i). Soit f ∈ L
s
2 (R
n ; R), et q : R
n
→ R la forme quadratique associée, définie par
q(x) := f(x, x).
a) Montrer que s’il existe un ouvert V non vide tel que la restriction de q à V
soit constante, alors q est nulle.
b) On suppose q non nulle. Soient g 1 et g 2 deux fonctions continues de R
n
dans R telles que g 1 (x) q(x) = g 2 (x) q(x) pour tout x ∈ R
n . Montrer que
g 1 = g 2 .
ii). Soit f ∈ C
2 (R
n ; R), telle que f (0) = 0, d f (0) = 0, d
2 f (0) = 0. On suppose
de plus qu’il existe une fonction g ∈ C
p (R
n ; R
+∗ ) (avec p ≥ 2) telle que
d
2 f (x) · (x, x) = g(x) d
2 f (0) · (x, x) pour tout x ∈ R
n .
a) Vérifier que la fonction f : (x 1 , x 2 ) → x
2
1 − x
2
2 − x
2
1 x
2
2 + x
4
1 satisfait à ces
conditions (dans le cas n = 2).
b) On revient au cas général. Montrer que d
2 f (t x)·(x, x) = g(t x) d
2 f (0)·(x, x)
quels que soient x ∈ R
n et t ∈ R. Que vaut donc g(0) ?
iii). On pose, pour tout x ∈ R
n , h(x) =
1
0
(1 − t) g(t x) dt. Montrer que
f (x) = h(x) d
2 f (0) · (x, x) pour tout x ∈ R
n . En déduire que f est de classe
C
p .
iv). En calculant d f (x) · x de deux manières différentes, montrer que dh(x) · x +
2h(x) =
1
0
g(t x) dt pour tout x ∈ R
n .
v). Montrer que pour tout x ∈ R
n , l’application c x : l → l
2 h(lx) est une bijection
strictement croissante de R
+ sur R
+ .
vi). Montrer que l’application z : R
n
→ R
n définie par z(x) =
√
h(x) x est une
bijection de classe C
p de R
n sur R
n .
vii). Montrer que pour tout x ∈ R
n , f (x) = d
2 f (0) · (z(x), z(x)).