Exercices
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b) Montrer que g est de classe C
1 sur (I × I )\D, où D := { (x, x) ; x ∈ I }.
iii). Soit a ∈ I . On suppose que f est deux fois différentiable en a, et l’on veut
montrer que g est différentiable en (a, a).
a) Quelle est la relation entre f
(a) (dérivée seconde de f au point a) et d
2 f (a)
(différentielle seconde de f au point a) ?
b) En supposant que g est différentiable en (a, a), calculer un candidat pour
dg(a, a) à l’aide de f
(a).
c) Démontrer que g est différentiable en (a, a).
Exercice 2.4 Identité de Jacobi
Soient v, w ∈ C
2 (V; E), où V est un ouvert d’un espace de Banach E.
i). Montrer que l’application x → dw(x) · v(x) − dv(x) · w(x) est de classe C
1 sur
V. Dans la suite on la note [v, w] (c’est le crochet de Lie de v et w).
ii). Si u ∈ C
2 (V; E), on définit f(u, v, w) par f(u, v, w)(x) =
d
2 u(x) · (w(x), v(x)) − dv(x) · (du(x) · w(x)) − dw(x) · (du(x) · v(x)) .
Montrer que ceci définit f comme application tri-linéaire sur l’espace C
2 (V; E),
symétrique en (v, w).
iii). Exprimer [[u, v], w] à l’aide de f(u, v, w) et f(v, u, w), et en déduire l’identité
de Jacobi :
[[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] ≡ 0 .
Exercice 2.5 Soit f ∈ L
s
2 (R
n ; R) tel que
∀x ∈ R
n , ∀y ∈ R
n , f(x, y) = f(y, x) , et f(x, x) = 0 si x = 0 .
Soit f : R
n
→ R
n une application deux fois différentiable telle que
∀x ∈ R
n , ∀h ∈ R
n , f(d f (x) · h, d f (x) · h) = f(h, h) .
i). Montrer que pour tout x ∈ R
n , pour tous h, k ∈ R
n ,
f(d f (x) · h, d f (x) · k) = f(h, k) .
ii). Montrer que d
2 f est identiquement nulle.
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