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2 • Différentielles d’ordre supérieur
EXERCICES
Exercice 2.1 « Dérivées discrètes »
Soient u ∈ C
∞ (R; F), où F un espace de Banach et Dx > 0. On appelle dérivée
discrète p-ième au point x ∈ R une approximation d
( p) u(x; Dx) de u
( p) (x) telle que
d
( p) u(x; Dx) − u
( p) (x) F ≤ C 1 Dx .
avec C 1 > 0 indépendant de Dx. On dit que c’est une approximation à l’ordre r s’il
existe C r > 0 tel que
d
( p) u(x; Dx) − u
( p) (x) F ≤ C r (Dx)
r .
Trouver des dérivées discrètes premières et secondes à l’ordre 2.
Exercice 2.2 Formule des trapèzes
Soit f : [a, b] → F (un espace de Banach) de classe C
2 , avec a < b. Montrer qu’il
existe C > 0 tel que
b
a
f (x) dx − (b − a)
f (a) + f (b)
2
≤ C max
j∈[a,b]
f
(j) (b − a)
3 .
Exercice 2.3 Soient I un intervalle ouvert non vide de R, E un espace de Banach
et f : I → E une application de classe C
1 .
i). Soit a ∈ I . Montrer que pour tout (x, y) ∈ I × I avec x = y,
1
x − y
( f (x) − f (y) ) − f
(a)
≤ sup
z∈]x,y[
d f (z) − d f (a) .
ii). Soit
g : I × I → E
(x, y) →
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1
x − y
( f (x) − f (y) ) si x = y
f
(x)
s ix = y
a) Montrer que g est continue sur I × I .