Solution des exercices
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SOLUTION DES EXERCICES
Exercice 2.1 D’après la formule de Taylor avec reste intégral on a
u(x ± Dx) = u(x) ± Dx ∂ x u(x) +
1
2
(Dx)
2 ∂
2
xx u(x) ±
1
6
(Dx)
3 ∂
3
xxx u(x)
+
1
6
(Dx)
4
1
0
(1 − u)
3 ∂
4
xxxx u(x + uDx) du .
On peut donc prendre
d
(1) (x; Dx) :=
u(x + Dx) − u(x − Dx)
2Dx
,
d
(2) (x; Dx) :=
u(x + Dx) − 2u(x) + u(x − Dx)
(Dx) 2
.
Notons que les dérivées discrètes décentrées
d
(1)
+ (x; Dx) :=
u(x + Dx) − u(x)
Dx
et d
(1)
− (x; Dx) :=
u(x) − u(x − Dx)
Dx
sont seulement précises à l’ordre 1. Ces dérivées discrètes sont à la base de ce que
l’on appelle les schémas aux différences finies, permettant de calculer des solutions
approchées d’équations différentielles ou aux dérivées partielles.
Exercice 2.2 On parle de formule des trapèzes car elle compare l’intégrale de f à
celle de la fonction affine p définie par p(x) := f (a) +
f (b)− f (a)
b−a
(x − a). On a en effet
b
a
f (x) dx − (b − a)
f (a) + f (b)
2
=
b
a
( f (x) − p(x)) dx .
Si l’on note c = (a + b)/2, la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à f − p
s’écrit f (x) − p(x) =
f (c) − p(c) + ( f
(c) − p
(c)) (x − c) +
1
0
(1 − u) f
(c + u(x − c)) (x − c)
2 du .
Notons r (x) :=
1
0
(1 − u) f
(c + u(x − c)) (x − c)
2 du. En appliquant la formule
ci-dessus à x = a et x = b en particulier, on en déduit (puisque f (a) = p(a),
f (b) = p(b), et a − c + b − c = 0)
f (c) − p(c) = −
r (a) + r (b)
2
.
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