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2 • Différentielles d’ordre supérieur
Dans cet énoncé la notation de Landau o (qu’on lit « petit o de » ) signifie que le
membre de gauche divisé par h
n tend vers 0 lorsque h tend vers 0. Il s’agit donc d’un
résultat local, qui donne des renseignements sur le comportement de f au voisinage
de x seulement.
Démonstration. Il n’y a rien à faire dans le cas n = 1 : c’est la définition
de la différentiabilité, reformulée à l’aide de o. On procède ensuite par
récurrence. Soit n ≥ 2. On suppose le théorème démontré pour les fonctions
(n − 1) fois différentiables en un point. Si f est n fois différentiable en x,
considérons la fonction
F : h → f (x + h) − f (x) −
n
p=1
1
p !
d
p f (x) · (h
[ p] ) .
Alors F est différentiable au voisinage de 0 E et
dF(h) · k = d f (x + h) · k − d f (x) · k −
n
p=2
p
p !
d
p f (x) · (h
[ p−1] , k)
= d f (x + h) · k − d f (x) · k −
n−1
p=1
1
p !
d
p (d f )(x) · h
[ p]
· k
quel que soit k ∈ E. L’hypothèse de récurrence appliquée à la différentielle
de f montre que
dF(h) = o(h
n−1 ) .
Cela signifie que pour tout ´ > 0, il existe h > 0 tel que h ≤ h implique
dF(h) ≤ ´ h
n−1 .
Ainsi dF(y) ≤ ´ h
n−1 pour tout y appartenant au segment [0, h].
Grâce au théorème des acroissements finis on en déduit :
F(h) = F(h) − F(0) ≤ ´ h h
n−1 ,
c’est-à-dire F(h) = o(h
n ).
Lorsque f a un cran de plus de régularité, et plus exactement lorsqu’elle est de
classe C
n+1 , la formule de Taylor–Young (2.5) est une conséquence immédiate de la
formule de Taylor–Lagrange (2.4) ; dans ce cas le o(h
n ) est même un O(h
n+1 )
(qu’on lit « grand o de » ...).