2.3 Formules de Taylor
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Démonstration. On applique le théorème 1.8 (page 21, version raffinée du
théorème des accroissements finis) à
f (t) := g(t) +
n
p=1
(1 − t)
p
p !
g
( p) (t) et w(t) := − M
(1 − t)
n+1
(n + 1) !
.
Le lemme 2.13 montre en effet que
f
(t) ≤ w
(t) pour tout t .
Cette proposition se traduit pour les fonctions (n + 1) fois différentiables sur un
ouvert d’espace de Banach par le
Théorème 2.18 Si U est un ouvert d’un espace de Banach E, si F est un espace de
Banach, si (x, h) ∈ U × E est tel que le segment [x, x + h] soit inclus dans U , et si
f : U → F est une fonction (n + 1) fois différentiable telle que
max
y∈[x,x+h]
d
n+1 f (y) L n+1 (E;F) ≤ M ,
alors
f (x + h) − f (x) −
n
p=1
1
p !
d
p f (x) · h
[ p]
≤
M
(n + 1) !
h
n+1 .
(2.4)
Démonstration. On applique la proposition 2.3 à la fonction
g : t → g(t) := f (x + t h) .
L’inégalité (2.4), qui généralise l’inégalité des acroissements finis, est connue sous
le nom de formule de Taylor avec reste de Lagrange, le reste en question étant seulement connu à travers une majoration, contrairement au reste intégral, qui est exact.
Lorsque f est de classe C
n+1 , (2.4) est une conséquence immédiate de la formule de
Taylor avec reste intégral (2.2).
2.3.3 Formule de Taylor–Young
Voyons une dernière version de la formule de Taylor, valable sous des hypothèses
encore moins fortes, et qui pour cette raison donne un résultat local seulement.
Théorème 2.19 Si U est un ouvert d’un espace de Banach E, si F est un espace de
Banach, si f : U → F est une fonction n fois différentiable en x ∈ U alors
f (x + h) − f (x) −
n
p=1
1
p !
d
p f (x) · h
[ p]
= o(h
n ) .
(2.5)
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