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2 • Différentielles d’ordre supérieur
➤ Notation
Pour tout h ∈ E et n ∈ N
∗ , on désigne par h
[n] le n-uplet de vecteurs tous égaux à h.
Théorème 2.16 Si U est un ouvert d’un espace de Banach E, si F est un espace de
Banach et f : U → F est une fonction de classe C
n+1 , alors, pour tout (x, h) ∈ U × E
tel que le segment [x, x + h] soit inclus dans U ,
f (x + h) = f (x) +
n
p=1
1
p !
d
p f (x) · h
[ p] +
1
0
(1 − t)
n
n !
d
n+1 f (x + th) · h
[n+1] dt .
(2.2)
Démonstration. On applique la formule (2.1) à la fonction
g : t → g(t) := f (x + t h) .
La formule (2.2) est ce qu’on appelle la formule de Taylor avec reste intégral à
l’ordre n + 1. En particulier, on a à l’ordre 1 :
f (x + h) = f (x) +
1
0
d f (x + th) · h dt .
On peut remarquer que cette formule implique l’inégalité des acroissements finis,
sous une hypothèse cependant plus forte ( f de classe C
1 ) que dans le théorème des
acroissements finis vu au chapitre 1.2. (On verra ci-après une généralisation à l’ordre
n + 1 de l’inégalité des acroissements finis, connue sous le nom de formule de Taylor–
Lagrange, qui demande seulement à f d’être (n + 1) fois différentiable.) La formule à
l’ordre 2 (c’est-à-dire (2.2) avec n = 1) s’écrit quant à elle :
f (x + h) = f (x) + d f (x) · h +
1
0
(1 − t) d
2 f (x + th) · (h, h) dt .
2.3.2 Formule de Taylor–Lagrange
Une autre façon d’exploiter le lemme 2.13 est contenue dans la
Proposition 2.17 Si I est un intervalle ouvert de R contenant [0, 1], F un espace de
Banach et g : I → F une fonction (n + 1) fois différentiable telle que
g
(n+1) (t) ≤ M , pour tout t ∈ [0, 1] ,
alors
g(1) − g(0) −
n
p=1
1
p !
g
( p) (0)
≤
M
(n + 1) !
.
(2.3)
2 • Différentielles d’ordre supérieur
➤ Notation
Pour tout h ∈ E et n ∈ N
∗ , on désigne par h
[n] le n-uplet de vecteurs tous égaux à h.
Théorème 2.16 Si U est un ouvert d’un espace de Banach E, si F est un espace de
Banach et f : U → F est une fonction de classe C
n+1 , alors, pour tout (x, h) ∈ U × E
tel que le segment [x, x + h] soit inclus dans U ,
f (x + h) = f (x) +
n
p=1
1
p !
d
p f (x) · h
[ p] +
1
0
(1 − t)
n
n !
d
n+1 f (x + th) · h
[n+1] dt .
(2.2)
Démonstration. On applique la formule (2.1) à la fonction
g : t → g(t) := f (x + t h) .
La formule (2.2) est ce qu’on appelle la formule de Taylor avec reste intégral à
l’ordre n + 1. En particulier, on a à l’ordre 1 :
f (x + h) = f (x) +
1
0
d f (x + th) · h dt .
On peut remarquer que cette formule implique l’inégalité des acroissements finis,
sous une hypothèse cependant plus forte ( f de classe C
1 ) que dans le théorème des
acroissements finis vu au chapitre 1.2. (On verra ci-après une généralisation à l’ordre
n + 1 de l’inégalité des acroissements finis, connue sous le nom de formule de Taylor–
Lagrange, qui demande seulement à f d’être (n + 1) fois différentiable.) La formule à
l’ordre 2 (c’est-à-dire (2.2) avec n = 1) s’écrit quant à elle :
f (x + h) = f (x) + d f (x) · h +
1
0
(1 − t) d
2 f (x + th) · (h, h) dt .
2.3.2 Formule de Taylor–Lagrange
Une autre façon d’exploiter le lemme 2.13 est contenue dans la
Proposition 2.17 Si I est un intervalle ouvert de R contenant [0, 1], F un espace de
Banach et g : I → F une fonction (n + 1) fois différentiable telle que
g
(n+1) (t) ≤ M , pour tout t ∈ [0, 1] ,
alors
g(1) − g(0) −
n
p=1
1
p !
g
( p) (0)
≤
M
(n + 1) !
.
(2.3)