2.3 Formules de Taylor
59
Proposition 2.14 Soient a, b ∈ R, a ≤ b, et F un espace de Banach. Alors l’intégrale
de Riemann sur le segment [a, b] définit une application linéaire continue sur l’espace
C([a, b]; F) des fonctions continues sur [a, b] et à valeurs dans F, muni de la norme
sup. Pour tout g ∈ C([a, b]; F), l’intégrale de Riemann de g sur le segment [a, b],
notée
b
a
g(t) dt, vérifie l’inégalié :
b
a
g(t) dt
≤
b
a
g(t) dt ≤ (b − a) max
t∈[a,b]
g(t) .
Quels que soient x, y ∈ [a, b], on a par définition
y
x
g(t) dt = −
x
y
g(t) dt
(et donc
x
x
g(t) dt = 0), et l’on a la relation de Chasles :
y
x
g(t) dt =
z
x
g(t) dt +
y
z
g(t) dt
pour tout z ∈ [a, b]. De plus, l’application y →
y
x
g(t) dt est dérivable et sa dérivée
est g. Inversement, pour toute primitive G de g, on a
G(y) − G(x) =
y
x
g(t) dt .
Si F est de dimension finie, F = R
q pour simplifier,
b
a
g(t) dt est simplement le
vecteur dont les composantes sont
b
a
g i (t) dt où les g i pour i ∈ {1, . . . , n} sont les
composantes de g dans la base « canonique » .
On a ainsi une conséquence immédiate du lemme 2.13 :
Corollaire 2.15 Si I est un intervalle ouvert de R contenant [0, 1], F un espace de
Banach et g : I → F une fonction de classe C
n+1 , alors
g(1) − g(0) −
n
p=1
1
p !
g
( p) (0) =
1
0
(1 − t)
n
n !
g
(n+1) (t) dt .
(2.1)
Le corollaire 2.15 a lui-même un corollaire pour les fonctions de classe C
n+1 sur un
ouvert d’un espace de Banach.
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