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2 • Différentielles d’ordre supérieur
Inversement, si f satisfait les propriétés énoncées pour n = 3, alors f est
deux fois différentiable, d f est différentiable sur U x , et d
2 f est différentiable
en x. Ceci implique que d f est deux fois différentiable en x, car en notant
J = I
−1 l’isomorphisme :
J : L 2 (E; F) → L(E; L(E; F))
f
→ ( h → f(h, ·) ) .
on a d(d f )(y) = J(d
2 f (y)) pour tout y ∈ U x et donc d(d f ) est différentiable comme fonction composée de fonctions différentiables.
Ceci termine le cas n = 3. Le passage de n à n +1 se traite de façon analogue,
il est laissé en exercice.
2.3 FORMULES DE TAYLOR
2.3.1 Formule de Taylor avec reste intégral
Les formules de Taylor de type global (avec reste intégral ou de Lagrange) sont
fondées sur un calcul simple concernant les fonctions d’une variable réelle.
Lemme 2.13 Soit I un intervalle ouvert de R, F un espace de Banach et g : I →
F une fonction (n + 1) fois dérivable. On note g
( p) ses dérivées successives, p ∈
{1, . . . , n + 1}. Alors pour tout t ∈ I on a :
d
dt
g(t) +
n
p=1
(1 − t)
p
p !
g
( p) (t)
=
(1 − t)
n
n !
g
(n+1) (t) .
Démonstration. En dérivant terme à terme, on trouve :
d
dt
g
(t) +
n
p=1
(1 − t)
p
p !
g
( p+1) (t) −
n
p=1
(1 − t)
p−1
( p − 1) !
g
( p) (t)
=
n
p=0
(1 − t)
p
p !
g
( p+1) (t) −
n−1
p=0
(1 − t)
p
p !
g
( p+1) (t)
par un simple changement d’indice. Tous les termes se compensent deux à
deux sauf le dernier de la première somme.
En fait, on va obtenir la formule de Taylor avec reste intégral grâce à une « version
intégrale » du lemme 2.13. Avant cela, il faut s’accorder sur la notion d’intégrale pour
les fonctions à valeurs dans F. Comme on n’intégrera que des fonctions continues,
la notion d’intégrale au sens de Riemann nous suffira. Résumons-en les propriétés
importantes, qu’on laisse au lecteur le soin de vérifier.