2.2 Différentielle d’ordre n
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Démonstration. Le cas n = 1 est évident. Le cas n = 2 résulte de la
définition 2.3 de la différentielle seconde et du théorème de Schwarz 2.4. Le
reste de la démonstration se fait bien sûr par récurrence.
Par souci de clarté, voyons le cas n = 3. Il y a deux sens à démontrer.
Supposons que f soit 3 fois différentiable en x : d’après la définition 2.7, il
existe un voisinage ouvert U x de x telle que d f soit définie sur U x et deux
fois différentiable en x.
En particulier, d f est différentiable sur U x , ce qui montre que f est deux
fois différentiable sur U x (d’après la définition 2.3), et sa différentielle
seconde d
2 f est une application de U x dans L
s
2 (E; F) d’après le théorème
de Schwarz, telle que :
d
2 f (y) · (h 1 , h 2 ) = d 2 g
[1] (h 1 , y) · h 2 où g
[1] (h 1 , y) = d f (y) · h 1 .
On aura montré les propriétés voulues pour n = 3 si l’on prouve que d
2 f est
différentiable en x et que d
3 f (x) · (h 1 , h 2 , h 3 ) = d 3 g(h 1 , h 2 , x) · h 3 , avec
g
[2] (h 1 , h 2 , y) := d
2 f (y) · (h 1 , h 2 ), définit bien d
3 f (x) ∈ L
s
3 (E; F).
Or, pour tout y ∈ U x , on a d
2 f (y) = I
d(d f )(y)
où I désigne l’isomorphisme naturel :
I : L(E; L(E; F)) → L 2 (E; F)
→ ( (h, k) → (h)(k) ) .
Comme d f est deux fois différentiable en x (par hypothèse), on en déduit
par composition que d
2 f est différentiable en x et (en se rappelant que I est
linéaire donc de différentielle constamment égale à I) :
d(d
2 f )(x) = I ◦ d(d(d f ))(x) .
D’un point de vue un peu différent, on a pour tout y ∈ U x :
g
[2] (h 1 , h 2 , y) = d
2 f (y) · (h 1 , h 2 ) = E (h 1 ,h 2 )
d(d f )(y)
,
où
E (h 1 ,h 2 ) : L(E; L(E; F)) → F
→ (h 1 )(h 2 ) .
Par dérivation de fonctions composées on a donc
d 3 g
[2] (h 1 , h 2 , x) · h 3 = (d(d(d f )))(x) · h 3 · h 1 · h 2 .
Dans cette dernière expression, on peut échanger h 1 et h 2 d’après le théorème
de Schwarz appliqué à f (et qui montre que g(y) = E (h 2 ,h 1 ) (d(d f )(y))), et
on peut échanger h 3 et h 1 d’après le théorème de Schwarz appliqué à d f .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Démonstration. Le cas n = 1 est évident. Le cas n = 2 résulte de la
définition 2.3 de la différentielle seconde et du théorème de Schwarz 2.4. Le
reste de la démonstration se fait bien sûr par récurrence.
Par souci de clarté, voyons le cas n = 3. Il y a deux sens à démontrer.
Supposons que f soit 3 fois différentiable en x : d’après la définition 2.7, il
existe un voisinage ouvert U x de x telle que d f soit définie sur U x et deux
fois différentiable en x.
En particulier, d f est différentiable sur U x , ce qui montre que f est deux
fois différentiable sur U x (d’après la définition 2.3), et sa différentielle
seconde d
2 f est une application de U x dans L
s
2 (E; F) d’après le théorème
de Schwarz, telle que :
d
2 f (y) · (h 1 , h 2 ) = d 2 g
[1] (h 1 , y) · h 2 où g
[1] (h 1 , y) = d f (y) · h 1 .
On aura montré les propriétés voulues pour n = 3 si l’on prouve que d
2 f est
différentiable en x et que d
3 f (x) · (h 1 , h 2 , h 3 ) = d 3 g(h 1 , h 2 , x) · h 3 , avec
g
[2] (h 1 , h 2 , y) := d
2 f (y) · (h 1 , h 2 ), définit bien d
3 f (x) ∈ L
s
3 (E; F).
Or, pour tout y ∈ U x , on a d
2 f (y) = I
d(d f )(y)
où I désigne l’isomorphisme naturel :
I : L(E; L(E; F)) → L 2 (E; F)
→ ( (h, k) → (h)(k) ) .
Comme d f est deux fois différentiable en x (par hypothèse), on en déduit
par composition que d
2 f est différentiable en x et (en se rappelant que I est
linéaire donc de différentielle constamment égale à I) :
d(d
2 f )(x) = I ◦ d(d(d f ))(x) .
D’un point de vue un peu différent, on a pour tout y ∈ U x :
g
[2] (h 1 , h 2 , y) = d
2 f (y) · (h 1 , h 2 ) = E (h 1 ,h 2 )
d(d f )(y)
,
où
E (h 1 ,h 2 ) : L(E; L(E; F)) → F
→ (h 1 )(h 2 ) .
Par dérivation de fonctions composées on a donc
d 3 g
[2] (h 1 , h 2 , x) · h 3 = (d(d(d f )))(x) · h 3 · h 1 · h 2 .
Dans cette dernière expression, on peut échanger h 1 et h 2 d’après le théorème
de Schwarz appliqué à f (et qui montre que g(y) = E (h 2 ,h 1 ) (d(d f )(y))), et
on peut échanger h 3 et h 1 d’après le théorème de Schwarz appliqué à d f .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit