56
2 • Différentielles d’ordre supérieur
Démonstration du lemme 2.10. On sait déjà (voir l’exercice 1.7) que l’application Q : u → u
−1 est différentiable et dQ(u) · h = − Q(u) ◦ h ◦ Q(u),
c’est-à-dire que dQ(u) = f(Q(u), Q(u)), où f est l’application bilinéaire
continue, et donc de classe C
∞ ,
f : L(F; E) × L(F; E) → L(L(E; F); L(F; E))
(v, w)
→ (h → − v ◦ h ◦ w)
.
On en déduit par récurrence en faisant appel au théorème 2.8 que Q est de
classe C
∞ .
On va maintenant définir la différentielle d’ordre n de façon à généraliser la notion
de différentielle seconde. Si f est n fois différentiable en x, sa différentielle d’ordre n
au point x sera une application n-linéaire symétrique.
Définition 2.11 Soient E et F des R-espaces de Banach, et L n (E; F) l’espace des
applications n-linéaires continues sur E
n . Une application f ∈ L n (E; F) est dite
symétrique si pour toute permutation s de l’ensemble {1, . . . , n} et pour tout n-uplet
(x 1 , . . . , x n ) ∈ E
n ,
f(x s(1) , . . . , x s(n) ) = f(x 1 , . . . , x n ) .
Comme signalé en préambule, on notera L
s
n (E; F) l’espace des applications
n-linéaires continues et symétriques sur E
n .
Remarque : Pour vérifier qu’une application n-linéaire est symétrique, il suffit
de vérifier son invariance par les transpositions qui échangent i et i + 1 avec
i ≤ n − 1 et par celle qui échange 1 et n.
Théorème 2.12 Une fonction f : U ⊂ E → F est n fois différentiable au point
x ∈ U si et seulement s’il existe un voisinage ouvert U x de x dans U , des fonctions
d
p f : U x → L
s
p (E; F) pour p ≤ n − 1 et d
n f (x) ∈ L
s
n (E; F) telles que d
1 f = d f
dans U x , pour tout p ≤ n − 2, d
p f est différentiable sur U x , avec pour tout y ∈ U x
et pour tout (h 1 , . . . , h p+1 ) ∈ E
p+1 :
d
p+1 f (y) · (h 1 , . . . , h p+1 ) = d p+1 g
[ p] (h 1 , . . . , h p , y) · h p+1
où
g
[ p] (h 1 , . . . , h p , y) := d
p f (y) · (h 1 , . . . , h p ) ,
et enfin d
n−1 f est différentiable en x et
d
n f (x) · (h 1 , . . . , h n ) = d n g
[n−1] (h 1 , . . . , h n−1 , x) · h n
où
g
[n−1] (h 1 , . . . , h n−1 , y) := d
n−1 f (y) · (h 1 , . . . , h n−1 ) .
2 • Différentielles d’ordre supérieur
Démonstration du lemme 2.10. On sait déjà (voir l’exercice 1.7) que l’application Q : u → u
−1 est différentiable et dQ(u) · h = − Q(u) ◦ h ◦ Q(u),
c’est-à-dire que dQ(u) = f(Q(u), Q(u)), où f est l’application bilinéaire
continue, et donc de classe C
∞ ,
f : L(F; E) × L(F; E) → L(L(E; F); L(F; E))
(v, w)
→ (h → − v ◦ h ◦ w)
.
On en déduit par récurrence en faisant appel au théorème 2.8 que Q est de
classe C
∞ .
On va maintenant définir la différentielle d’ordre n de façon à généraliser la notion
de différentielle seconde. Si f est n fois différentiable en x, sa différentielle d’ordre n
au point x sera une application n-linéaire symétrique.
Définition 2.11 Soient E et F des R-espaces de Banach, et L n (E; F) l’espace des
applications n-linéaires continues sur E
n . Une application f ∈ L n (E; F) est dite
symétrique si pour toute permutation s de l’ensemble {1, . . . , n} et pour tout n-uplet
(x 1 , . . . , x n ) ∈ E
n ,
f(x s(1) , . . . , x s(n) ) = f(x 1 , . . . , x n ) .
Comme signalé en préambule, on notera L
s
n (E; F) l’espace des applications
n-linéaires continues et symétriques sur E
n .
Remarque : Pour vérifier qu’une application n-linéaire est symétrique, il suffit
de vérifier son invariance par les transpositions qui échangent i et i + 1 avec
i ≤ n − 1 et par celle qui échange 1 et n.
Théorème 2.12 Une fonction f : U ⊂ E → F est n fois différentiable au point
x ∈ U si et seulement s’il existe un voisinage ouvert U x de x dans U , des fonctions
d
p f : U x → L
s
p (E; F) pour p ≤ n − 1 et d
n f (x) ∈ L
s
n (E; F) telles que d
1 f = d f
dans U x , pour tout p ≤ n − 2, d
p f est différentiable sur U x , avec pour tout y ∈ U x
et pour tout (h 1 , . . . , h p+1 ) ∈ E
p+1 :
d
p+1 f (y) · (h 1 , . . . , h p+1 ) = d p+1 g
[ p] (h 1 , . . . , h p , y) · h p+1
où
g
[ p] (h 1 , . . . , h p , y) := d
p f (y) · (h 1 , . . . , h p ) ,
et enfin d
n−1 f est différentiable en x et
d
n f (x) · (h 1 , . . . , h n ) = d n g
[n−1] (h 1 , . . . , h n−1 , x) · h n
où
g
[n−1] (h 1 , . . . , h n−1 , y) := d
n−1 f (y) · (h 1 , . . . , h n−1 ) .