2.2 Différentielle d’ordre n
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Démonstration. Le cas n = 1 résulte du théorème 1.5 (page 15) et du fait
que l’application
d(g ◦ f ) : x → dg( f (x)) ◦ d f (x)·
est continue si d f et dg sont continues, comme composée de
x → ( dg( f (x)) , d f (x) ) ∈ L(F; G) × L(E; F) et (v, u) → v ◦ u .
(Notons que la seconde application est bilinéaire continue.)
Le cas général se traite par récurrence sur n. Supposons les propriétés démontrées jusqu’à l’entier n − 1. Si f et g sont n fois différentiables en x et f (x)
respectivement, alors d f est (n − 1) fois différentiable en x, de même que
x → dg( f (x)) comme composée de dg et f (en appliquant l’hypothèse de
récurrence). En observant que l’application bilinéaire continue
(v, u) ∈ L(F; G) × L(E; F) → v ◦ u
est de classe C
∞ et en appliquant à nouveau l’hypothèse de récurrence, on
en déduit que d(g ◦ f ) est (n − 1) fois différentiable en x. Cela signifie
précisément que g ◦ f est n fois différentiable en x. Le raisonnement est
identique pour montrer que g ◦ f est de classe C
n si f et g le sont.
Théorème 2.9 Si f est un difféomorphisme de U sur V et si f est de classe C
n alors
f
−1 est aussi de classe C
n .
Démonstration. Au vu de la définition 1.13 il n’y a rien à démontrer dans
le cas n = 1. Le cas n ≥ 2 se traite par récurrence, en utilisant la formule
d( f
−1 )(y) =
d f ( f
−1 (y))
−1
et le
Lemme 2.10 L’application
Isom(E; F) → Isom(F; E)
u
→ u
−1
est de classe C
∞ .
Admettons provisoirement ce lemme et supposons démontré que la réciproque de tout difféomorphisme de classe C
n−1 est de classe C
n−1 . Soit f
un difféomorphisme de classe C
n . Alors par définition, d f est de classe
C
n−1 , et d’après l’hypothèse de récurrence f
−1 est de classe C
n−1 (au
moins). Donc le théorème 2.8 montre que l’application y → d f ( f
−1 (y))
est de classe C
n−1 , et grâce au lemme 2.10, le même théorème montre que
y →
d f ( f
−1 (y))
−1 est de classe C
n−1 .
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