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2 • Différentielles d’ordre supérieur
2.2 DIFFÉRENTIELLE D’ORDRE n
Pour les entiers n ≥ 2, on définit par récurrence les notions suivantes, qui généralisent
de façon évidente le cas n = 2.
Définition 2.7 Soit une fontion f définie sur un ouvert (non vide) U d’un R-espace
de Banach E et à valeurs dans un R-espace de Banach F, et n un entier au moins
égal à 2. On dit qu’elle est
• n fois différentiable en x ∈ U si elle est différentiable dans un voisinage ouvert U x
de x et si sa différentielle d f : U x → L(E; F) est (n − 1) fois différentiable en x,
• n fois différentiable dans U si elle est n fois différentiable en tout point de U ,
• de classe C
n si sa différentielle est de classe C
n−1 ,
• de classe C
∞ si elle est de classe C
n pour tout n ≥ 1.
➤ Exemple
Les applications linéaires continues et plus généralement les applications k-linéaires
continues sont de classe C
∞ .
En effet, le cas k = 1 est clair : si u ∈ L(E; F), elle est de classe C
1 et sa différentielle est constante (partout égale à u), donc de classe C
∞ (les différentielles successives sont toutes identiquement nulles). Voyons le cas k = 2. Si f ∈ L(E 1 , E 2 ; F)
alors
df(x 1 , x 2 ) · (h 1 , h 2 ) = f(x 1 , h 2 ) + f(h 1 , x 2 ) ,
d(df)(x 1 , x 2 ) · (h 1 , h 2 ) · (k 1 , k 2 ) = f(k 1 , h 2 ) + f(h 1 , k 2 ) ,
c’est-à-dire que d(df) est constante. Donc les différentielles suivantes sont toutes
identiquement nulles. Le cas général se traite par récurrence ; il est laissé en exercice.
Remarque : Comme on peut s’y attendre, la notion de fonction n fois différentiable est plus forte que celle de fonction (n − 1) fois différentiable, et la
notion de fonction de classe C
n est plus forte que celle de fonction de classe
C
n−1 . Autrement dit, si f est n fois différentiable, elle est a fortiori (n − 1) fois
différentiable ; si f est de classe C
n , elle est a fortiori de classe C
n−1 . La preuve
repose sur une récurrence facile.
Dans l’énoncé suivant, E, F et G sont des espaces de Banach, U est un ouvert de
E et V est un ouvert de F contenant U .
Théorème 2.8 Si f : U ⊂ E → F est n fois différentiable en x ∈ U et g : V ⊂
F → G est n fois différentiable en y = f (x) ∈ V , alors g ◦ f est n fois différentiable
en x. Si f est de classe C
n sur U et g est de classe C
n sur V alors g ◦ f est de classe
C
n .
2 • Différentielles d’ordre supérieur
2.2 DIFFÉRENTIELLE D’ORDRE n
Pour les entiers n ≥ 2, on définit par récurrence les notions suivantes, qui généralisent
de façon évidente le cas n = 2.
Définition 2.7 Soit une fontion f définie sur un ouvert (non vide) U d’un R-espace
de Banach E et à valeurs dans un R-espace de Banach F, et n un entier au moins
égal à 2. On dit qu’elle est
• n fois différentiable en x ∈ U si elle est différentiable dans un voisinage ouvert U x
de x et si sa différentielle d f : U x → L(E; F) est (n − 1) fois différentiable en x,
• n fois différentiable dans U si elle est n fois différentiable en tout point de U ,
• de classe C
n si sa différentielle est de classe C
n−1 ,
• de classe C
∞ si elle est de classe C
n pour tout n ≥ 1.
➤ Exemple
Les applications linéaires continues et plus généralement les applications k-linéaires
continues sont de classe C
∞ .
En effet, le cas k = 1 est clair : si u ∈ L(E; F), elle est de classe C
1 et sa différentielle est constante (partout égale à u), donc de classe C
∞ (les différentielles successives sont toutes identiquement nulles). Voyons le cas k = 2. Si f ∈ L(E 1 , E 2 ; F)
alors
df(x 1 , x 2 ) · (h 1 , h 2 ) = f(x 1 , h 2 ) + f(h 1 , x 2 ) ,
d(df)(x 1 , x 2 ) · (h 1 , h 2 ) · (k 1 , k 2 ) = f(k 1 , h 2 ) + f(h 1 , k 2 ) ,
c’est-à-dire que d(df) est constante. Donc les différentielles suivantes sont toutes
identiquement nulles. Le cas général se traite par récurrence ; il est laissé en exercice.
Remarque : Comme on peut s’y attendre, la notion de fonction n fois différentiable est plus forte que celle de fonction (n − 1) fois différentiable, et la
notion de fonction de classe C
n est plus forte que celle de fonction de classe
C
n−1 . Autrement dit, si f est n fois différentiable, elle est a fortiori (n − 1) fois
différentiable ; si f est de classe C
n , elle est a fortiori de classe C
n−1 . La preuve
repose sur une récurrence facile.
Dans l’énoncé suivant, E, F et G sont des espaces de Banach, U est un ouvert de
E et V est un ouvert de F contenant U .
Théorème 2.8 Si f : U ⊂ E → F est n fois différentiable en x ∈ U et g : V ⊂
F → G est n fois différentiable en y = f (x) ∈ V , alors g ◦ f est n fois différentiable
en x. Si f est de classe C
n sur U et g est de classe C
n sur V alors g ◦ f est de classe
C
n .