2.1 Différentielle seconde
53
➤ En dimension finie
Supposons ici que E = R
p et soit (e 1 , . . . , e p ) la base « canonique » . Si f est deux
fois différentiable sur un ouvert U ⊂ R
p , alors on a pour tout x ∈ U , pour tous i,
j ∈ {1, . . . , p},
d
2 f (x) · (e i , e j ) =
∂
∂x i
∂ f
∂x j
(x) .
Le théorème de Schwarz montre que « les dérivées partielles croisées sont égales »
c’est-à-dire
∂
∂x i
∂ f
∂x j
=
∂
∂x j
∂ f
∂x i
pour tous i, j ∈ {1, . . . , p}. Ces dérivées sont en général notées
∂
2 f
∂x i ∂x j
.
Par bilinéarité, si h et k sont deux vecteurs de R
p de composantes (h 1 , . . . , h p ) et
(k 1 , . . . , k p ) respectivement,
d
2 f (x) · (h, k) =
p
i=1
p
j=1
h i k j
∂
2 f
∂x i ∂x j
(x) .
Théorème 2.6 (Schwarz en dimension finie) Soit f : U ⊂ R
p
→ R deux fois
différentiable en x ∈ U alors la matrice hessienne de f au point x
Hess f (x) :=
∂
2 f
∂x i ∂x j
(x)
1≤i, j≤n
est symétrique.
Notons que par définition de la matrice hessienne, quels que soient h, k ∈ R
p ,
d
2 f (x) · (h, k) = h, Hess f (x) k ,
où ·, ·· désigne le produit scalaire « canonique » de R
p .
Remarque : Les identités suivantes sont des conséquences du théorème de
Schwarz.
• Si f : U ⊂ R
3
→ R
3 est deux fois différentiable, alors div rot f ≡ 0 .
• Si w : U ⊂ R
3
→ R est deux fois différentiable, alors rot grad w ≡ 0 .
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