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Table des matières
CHAPITRE 3 • EXTREMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.1 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.3 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.4 Introduction au calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
SOLUTION DES EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
CHAPITRE 4 • FORMES DIFFÉRENTIELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.1 Champs de vecteurs et 1-formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.2 Formes différentielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Théorème de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Théorème de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.5 Théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
DEUXIÈME PARTIE
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
CHAPITRE 5 • INTRODUCTION ET OUTILS DE BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1 Modélisation et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2 Résolution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3 Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4 Théorème de Cauchy–Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5 Théorème du flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.6 Équations aux différentielles totales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
SOLUTION DES EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Table des matières
CHAPITRE 3 • EXTREMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.4 Introduction au calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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SOLUTION DES EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CHAPITRE 4 • FORMES DIFFÉRENTIELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1 Champs de vecteurs et 1-formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.2 Formes différentielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Théorème de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Théorème de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.5 Théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
DEUXIÈME PARTIE
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
CHAPITRE 5 • INTRODUCTION ET OUTILS DE BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1 Modélisation et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2 Résolution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3 Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4 Théorème de Cauchy–Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5 Théorème du flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.6 Équations aux différentielles totales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
SOLUTION DES EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161