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2 • Différentielles d’ordre supérieur
Pour tout h ∈ E, on a (h) ∈ L(F; G) avec
(h) L(F;G) = sup
k∈F\{0}
f(h, k) G
k F
≤ ≤f L(E,F;G) h E ,
et de plus ∈ L(E; L(F; G)) avec
L(E;L(F;G)) = sup
h∈E\{0}
sup
k∈F\{0}
f(h, k) G
h E k F
= f L(E,F;G) .
Inversement, à ∈ L(E; L(F; G)) on associe
f : (h, k) → (h)(k) .
C’est une application bilinéaire continue, de norme égale à celle de . On
obtient bien ainsi une bijection linéaire et préservant la norme (donc bicontinue) de L(E, F; G) sur L(E; L(F; G))
Définition 2.3 La différentielle seconde d’une fonction f : U ⊂ E → F deux fois
différentiable est l’application
d
2 f : U → L(E, E; F)
x → d
2 f (x)
définie par d
2 f (x) · (h, k) = d(d f )(x) · h · k pour tout (h, k) ∈ E × E.
On peut interpréter cette définition de la façon suivante, qu’on utilise en pratique
pour calculer d
2 f . Si f est deux fois différentiable sur U , alors quel que soit k ∈ E,
l’application
g : U → F
x → d f (x) · k
est différentiable et
dg(x) · h = d
2 f (x) · (h, k) .
En effet, g est la composée de d f et de l’application linéaire continue
L(E; F) → F
→ (k) .
Une autre interprétation utilise ce que l’on a vu sur la différentielle (première). Comme
d(d f )(x) · h =
d(d f (x + th))
dt
t=0
et d f (x + th) · k =
d f (x + th + sk)
ds
s=0
,