Chapitre 2
Différentielles d’ordre supérieur
2.1 DIFFÉRENTIELLE SECONDE
Définition 2.1 Une fontion f définie sur un ouvert (non vide) U d’un R-espace de
Banach E et à valeurs dans un R-espace de Banach F est dite deux fois différentiable en x ∈ U si elle est différentiable dans un voisinage ouvert U x de x et si sa
différentielle d f : U x → L(E; F) est différentiable en x. On dit que f est deux fois
différentiable dans U si elle est deux fois différentiable en tout point de U .
Par définition, la différentielle de d f en x, d(d f )(x) est une application linéaire
continue de E dans L(E; F). Elle s’identifie naturellement avec une application bilinéaire continue sur E × E, en vertu de la
Proposition 2.2 Soient E, F et G des espaces de Banach. Alors les espaces
L(E; L(F; G)) et L(E, F; G) munis des normes usuelles :
L(E;L(F;G)) = sup{ {(h) L(F;G) , h E ≤ 1 } ,
f L(E,F;G) = sup{{f(h, k) G ; h E ≤ 1 , k F ≤ 1}
sont isométriques.
Démonstration. L’isométrie « naturelle » est définie comme suit. À f ∈
L(E, F; G), on associe définie par
(h) : k → f(h, k) .