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1 • Différentiabilité
En particulier
dF(g, 0) · (h, k) =
1
0
( h(x) + k g
(x)) g
(x) dx .
ii). On a F(g, 0) =
1
0
g(x) g
(x) dx =
1
2 (g(1)
2
− g(0)
2 ) car g est 1-périodique, et
d’après la question précédente,
∂ F
∂s
(g, 0) =
1
0
g
(x)
2 dx > 0
puisque g est non constante (et (g
)
2 n’est donc pas identiquement nulle). Donc le
théorème des fonctions implicites s’applique : T ( f , s) = 0 équivaut au voisinage
de (g, 0) à s = s( f ), où
ds( f ) · h = −
1
0
h(x)g
(x)dx
1
0
g (x) 2 dx
.
Exercice 1.14 C’est une application du théorème des fonctions implicites, prétexte à l’introduction des notions d’ensembles de niveau (généralisant les lignes de
niveau bien connues des géographes) et d’hypersurfaces (généralisant les surfaces).
Soient e n ∈ R
n tel que d f (x) · e n = 1, et (e 1 , . . . , e n−1 ) une base de l’hyperplan
dF(x)
⊥ . Alors (e 1 , . . . , e n ) est une base de R
n . Considérons alors F : (j 1 , . . . , j n ) →
f
x +
n
i=1 j i e i
∈ R. On a ∂ n F(0, . . . , 0) = d f (x) · e n = 1. Donc d’après le théorème des fonctions implicites, il existe un voisinage O de zéro dans R
n−1 , un intervalle
I contenant 0, et w ∈ C
1 (O; I ) tels que pour (j 1 , . . . , j n ) ∈ O× I , f
x +
n
i=1 j i e i
=
a équivaut à j n = w(j 1 , . . . , j n−1 ). Il suffit alors de définir F par F(j 1 , . . . , j n−1 ) =
x +
n−1
i=1 j i e i + w(j 1 , . . . , j n−1 )e n et V x = {x +
n−1
i=1 j i e n ; (j 1 , . . . , j n ) ∈ O × I }.