Solution des exercices
47
iii). Puisque f est de classe C
1 , f (0 n , I n ) = 0 n , et d 2 f (0 n , I n ) est un isomorphisme,
d’après le théorème des fonctions implicites, il existe un voisinage V de 0 n dans
G, un voisinage W de I n dans F, et une application w : V → W de classe C
1
tels que, pour tout ( A, S) ∈ V × W, f (A, S) = 0 n équivaut à S = w(A).
iv). D’après les formules des questions 1 et 2, on voit que dw(0 n ) · H = 0 n quel que
soit H ∈ G.
v). Quel que soit M ∈ E,
M =
M − M t
2
+
M + M t
2
,
ce qui montre que E = F + G. Et on a clairement F ∩ G = {0 n }. Donc
E = F ⊕ G.
vi). Soit U = {M = S + A ; A ∈ V , S ∈ W} . C’est un voisinage de I n dans E et
pour tout M ∈ U, M M t = I n équivaut à
f
M − M t
2
,
M + M t
2
= I n
avec
M−M t
2
∈ V et
M+M t
2
∈ W. D’après la question 3, M M t = I n équivaut
donc à
M =
M − M t
2
+ w
M − M t
2
.
Exercice 1.13
i). On considère d’abord l’application
T : E × R → E 0
( f , s) → f s ,
où E 0 désigne l’espace des applications continues 1-périodiques muni de la
norme · · ∞ . Elle est de classe C
1 car elle est continûment différentiable par
rapport à f (les applications partielles f → f s étant linéaires continues, de
norme 1) et continûment dérivable par rapport à s, de dérivée f
s au point ( f , s).
Puis on observe que l’application
I : E 0 → R
f →
1
0
f (x) g
(x) dx ,
est linéaire continue (de norme au plus égale à
1
0
|g
(x)| dx), donc de classe C
1 .
On en déduit que F = I ◦ T est classe C
1 . Sa différentielle est donnée par
dF( f , s) · (h, k) = I (dT ( f , s) · (h, k)) =
1
0
( h s (x) + k f
s (x)) g
(x) dx .
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