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1 • Différentiabilité
iii). On applique le théorème des fonctions implicites (théorème 1.20) à g.
iv). Au voisinage de (l 0 , x 0 ), w coïncide avec la fonction c de la question précédente.
Elle est donc de classe C
1 , et l’on a, pour tout (m, h) ∈ F × E,
dw(l) · m = d 2 g(l, x)
−1 ( d 1 f (l, x) · m) .
v). Le résultat ci-dessus s’applique à F = R, E = R
2 et
f : F × E → E
(t, x, y) → f (t, x, y) = (
1
2 sin(x + y) + t − 1,
1
2 cos(x − y) − t +
1
2 ) .
En effet, f est une fonction de classe C
1 (et même analytique), de matrice
jacobienne
D f (x, y) =
1
2 cos(x + y)
1
2 cos(x + y)
−
1
2 sin(x − y)
1
2 sin(x − y)
,
et l’on a D f (x, y) 2 =
√
(A) avec
A = D f (x, y)
t D f (x, y) =
1
2 cos
2 (x + y)
0
0
1
2 sin
2 (x − y)
,
d’où D f (x, y) 2 ≤ 1/
√
2 < 1. On a clairement f (t, 0, 0) = (0, 0) si seulement si t = 1. Donc (x(1), y(1)) = (0, 0), et l’on a par dérivation de f ,
x
(1) =
1
2 (x
(1) + y
(1)) + 1 , y
(1) = −1 ,
d’où x
(1) = 1.
Exercice 1.12
i). L’application f est de classe C
1 comme composée de (A, S) → (S + A, S − A)
(linéaire continue) et de (M, N ) → M N − I n (somme d’une application bilinéaire continue et d’une application constante). D’après la formule de différentiation des fonctions composées,
d f (A,S) (H , K ) = (K + H )(S − A) + (S + A)(K − H )
pour tout (A, S) ∈ G × F et pour tout (H , K ) ∈ G × F.
ii). D’après la formule ci-dessus, la différentielle partielle de f par rapport à S, est
donnée par
d 2 f (0 n , I n ) · K = 2 K
quel que soit K , c’est-à-dire que d 2 f (0 n , I n ) = 2 I F : c’est donc clairement un
isomorphisme de F.