Solution des exercices
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sont telles que U H + H U = 0. Par conséquent, d’après la formule donnant
la différentielle de Q, dQ(u) · h = 0. S’il existait une fonction différentiable
C définie sur un voisinage W de I E et à valeurs dans un voisinage de u dans
L(E), telle que C(I E ) = u et Q(C(w)) = w pour tout w ∈ W, on aurait par
différentiation de la fonction w → Q(C(w)) − w,
dQ(u)(dC(I E ) · k) = k
quel que soit k ∈ L(E). Donc dC(I E ) serait injective (la relation ci-dessus
montrant que dC(I E ) · k = 0 ⇒ k = 0) et par conséquent aussi surjective,
puisque L(E) est de dimension finie dans cette question : on choisissant k tel que
dC(I E ) · k = h on en déduirait (grâce à l’égalité dQ(u) · h = 0) que k = 0, et
donc h = 0, ce qui est évidemment faux.
Exercice 1.10
i). L’application f est de classe C
1 comme différence de 2Id L(E) et de l’application
quadratique v → v ◦ u ◦ v. Quels que soient v ∈ L(E) et h ∈ L(E),
d f (v) · h = 2h − v ◦ u ◦ h − h ◦ u ◦ v .
Par définition, f (u
−1 ) = u
−1 , et d’après la formule ci-dessus, d f (u
−1 ) ≡ 0.
ii). Puisque d f (u
−1 ) ≡ 0 et d f est continue, il existe une boule fermée B centrée
en u
−1 telle que d f (v) ≤
1
2 pour tout v ∈ B.
iii). La boule B est stable par f car f (u
−1 ) = u
−1 et d’après le théorème des
accroissements finis,
f (v) − f (u
−1 ) ≤
1
2
v − u
−1
pour tout v ∈ B. La série de terme général 2
− p étant convergente, on en déduit
par le critère de Cauchy que, si v 0 ∈ B, la suite des itérés (v p ) p∈N converge vers
u
−1 dans L(E).
Exercice 1.11
i). À l fixé, le théorème de Banach-Picard (théorème 1.17) s’applique à la fonction
x → f (l, x) d’après l’hypothèse d 2 f (l, x) ≤ k < 1 et le théorème des
accroissements finis (théorème 1.9).
ii). L’application g est de classe C
1 comme différence de l’application linéaire
(l, x) → x et de f . Pour tout (l, x) ∈ F × E, d 2 g(l, x) = Id E − d 2 f (l, x).
Comme d 2 f (l, x) < 1, on en déduit que d 2 g(l, x) est un isomorphisme de E
(selon l’argument utilisé dans l’exercice 1.8).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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sont telles que U H + H U = 0. Par conséquent, d’après la formule donnant
la différentielle de Q, dQ(u) · h = 0. S’il existait une fonction différentiable
C définie sur un voisinage W de I E et à valeurs dans un voisinage de u dans
L(E), telle que C(I E ) = u et Q(C(w)) = w pour tout w ∈ W, on aurait par
différentiation de la fonction w → Q(C(w)) − w,
dQ(u)(dC(I E ) · k) = k
quel que soit k ∈ L(E). Donc dC(I E ) serait injective (la relation ci-dessus
montrant que dC(I E ) · k = 0 ⇒ k = 0) et par conséquent aussi surjective,
puisque L(E) est de dimension finie dans cette question : on choisissant k tel que
dC(I E ) · k = h on en déduirait (grâce à l’égalité dQ(u) · h = 0) que k = 0, et
donc h = 0, ce qui est évidemment faux.
Exercice 1.10
i). L’application f est de classe C
1 comme différence de 2Id L(E) et de l’application
quadratique v → v ◦ u ◦ v. Quels que soient v ∈ L(E) et h ∈ L(E),
d f (v) · h = 2h − v ◦ u ◦ h − h ◦ u ◦ v .
Par définition, f (u
−1 ) = u
−1 , et d’après la formule ci-dessus, d f (u
−1 ) ≡ 0.
ii). Puisque d f (u
−1 ) ≡ 0 et d f est continue, il existe une boule fermée B centrée
en u
−1 telle que d f (v) ≤
1
2 pour tout v ∈ B.
iii). La boule B est stable par f car f (u
−1 ) = u
−1 et d’après le théorème des
accroissements finis,
f (v) − f (u
−1 ) ≤
1
2
v − u
−1
pour tout v ∈ B. La série de terme général 2
− p étant convergente, on en déduit
par le critère de Cauchy que, si v 0 ∈ B, la suite des itérés (v p ) p∈N converge vers
u
−1 dans L(E).
Exercice 1.11
i). À l fixé, le théorème de Banach-Picard (théorème 1.17) s’applique à la fonction
x → f (l, x) d’après l’hypothèse d 2 f (l, x) ≤ k < 1 et le théorème des
accroissements finis (théorème 1.9).
ii). L’application g est de classe C
1 comme différence de l’application linéaire
(l, x) → x et de f . Pour tout (l, x) ∈ F × E, d 2 g(l, x) = Id E − d 2 f (l, x).
Comme d 2 f (l, x) < 1, on en déduit que d 2 g(l, x) est un isomorphisme de E
(selon l’argument utilisé dans l’exercice 1.8).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit