44
1 • Différentiabilité
iii). D’après la question précédente,
1
3 d f (u) − I L(L(E)) ≤ 2 u − I E L(E) + u − I E
2
L(E) < 1
si u − I E < 1/3. Comme la boule ouverte de centre I et rayon 1 est incluse
dans l’ensemble des isomorphismes de L(E) (cela est vrai dans toute algèbre
de Banach ; il suffit de noter que pour A < 1, la série de terme général A
n
converge, et l’on a alors ( A − I)
−1 = −
+∞
n=0 A
n ; c’est l’argument que l’on a
déjè utilisé dans l’exercice 1.7), on en déduit que
1
3 d f (u), et donc aussi d f (u)
est un isomorphisme de L(E).
a) On a dg(u) = d f (u) − 3 I, donc d’après la seconde question,
dg(u) − I L(L(E)) ≤ 6 ×
1
3
+ 3 ×
1
3 2 =
7
3
pour u ∈ B. On en déduit la majoration demandée par le théorème des
accroissements finis (théorème 1.9).
b) Si f (u) = f (v) alors g(u) − g(v) = 3(v − u) donc 3u − v ≤
7
3 u − v :
comme 3 >
7
3 , cela implique u = v.
iv). Le théorème d’inversion globale (corollaire 1.18) s’applique à f dans B d’après
ce qui précède.
Exercice 1.9
i). L’application Q est de classe C
1 sur L(E) comme composée de u → (u, u) (dont
les composantes sont I L(E) , de classe C
∞ et a fortiori C
1 ) et de (u, v) → u ◦ v
(bilinéaire continue sur L(E)). D’après la formule de différentiation des fonctions
composées,
dQ(u) · h = u ◦ h + h ◦ u
pour tout u ∈ L(E) et pour tout h ∈ L(E).
ii). D’après la formule ci-dessus, dQ(I E ) · h = 2 h , c’est-à-dire que dQ(I E ) =
I L(E) . Donc d’après le théorème d’inversion locale, Q est un difféomorphisme
local en I E : il existe un voisinage U de I E et un voisinage V de I E = Q(I E )
tels que, pour tout v ∈ V, il existe un unique u ∈ U pour lequel v = Q(u). En
prenant ´ > 0 tel que la boule de centre I E et de rayon ´ soit incluse dans V, on
en déduit que pour tout v ∈ L(E) vérifiant v − I E < ´, l’équation u ◦u = v
possède au moins une solution dans L(E) (et en fait une seule dans U).
iii). Les matrices
U :=
−1 0
0 1
et H :=
0 1
0 0
1 • Différentiabilité
iii). D’après la question précédente,
1
3 d f (u) − I L(L(E)) ≤ 2 u − I E L(E) + u − I E
2
L(E) < 1
si u − I E < 1/3. Comme la boule ouverte de centre I et rayon 1 est incluse
dans l’ensemble des isomorphismes de L(E) (cela est vrai dans toute algèbre
de Banach ; il suffit de noter que pour A < 1, la série de terme général A
n
converge, et l’on a alors ( A − I)
−1 = −
+∞
n=0 A
n ; c’est l’argument que l’on a
déjè utilisé dans l’exercice 1.7), on en déduit que
1
3 d f (u), et donc aussi d f (u)
est un isomorphisme de L(E).
a) On a dg(u) = d f (u) − 3 I, donc d’après la seconde question,
dg(u) − I L(L(E)) ≤ 6 ×
1
3
+ 3 ×
1
3 2 =
7
3
pour u ∈ B. On en déduit la majoration demandée par le théorème des
accroissements finis (théorème 1.9).
b) Si f (u) = f (v) alors g(u) − g(v) = 3(v − u) donc 3u − v ≤
7
3 u − v :
comme 3 >
7
3 , cela implique u = v.
iv). Le théorème d’inversion globale (corollaire 1.18) s’applique à f dans B d’après
ce qui précède.
Exercice 1.9
i). L’application Q est de classe C
1 sur L(E) comme composée de u → (u, u) (dont
les composantes sont I L(E) , de classe C
∞ et a fortiori C
1 ) et de (u, v) → u ◦ v
(bilinéaire continue sur L(E)). D’après la formule de différentiation des fonctions
composées,
dQ(u) · h = u ◦ h + h ◦ u
pour tout u ∈ L(E) et pour tout h ∈ L(E).
ii). D’après la formule ci-dessus, dQ(I E ) · h = 2 h , c’est-à-dire que dQ(I E ) =
I L(E) . Donc d’après le théorème d’inversion locale, Q est un difféomorphisme
local en I E : il existe un voisinage U de I E et un voisinage V de I E = Q(I E )
tels que, pour tout v ∈ V, il existe un unique u ∈ U pour lequel v = Q(u). En
prenant ´ > 0 tel que la boule de centre I E et de rayon ´ soit incluse dans V, on
en déduit que pour tout v ∈ L(E) vérifiant v − I E < ´, l’équation u ◦u = v
possède au moins une solution dans L(E) (et en fait une seule dans U).
iii). Les matrices
U :=
−1 0
0 1
et H :=
0 1
0 0