Solution des exercices
43
u ∈ Isom(X ;Y), et h ∈ L(X ; Y ) est de norme strictement inférieure à u
−1
−1 ,
u + h ∈ Isom(X ;Y) et son inverse est donné par
(u + h)
−1 = (Id X + u
−1
◦ h)
−1
◦ u
−1 =
+∞
n=0
(−u
−1
◦ h)
n
◦ u
−1 .
Donc
(u + h)
−1
− u
−1
=
+∞
n=1
(−u
−1
◦ h)
n
◦ u
−1
≤
u
−1
−1
h
1 − −u −1 −1 h
,
ce qui tend vers zéro lorsque h tend vers zéro. Ceci montre que f est continue, et
en particulier localement bornée. Maintenant on observe que pour u ∈ Isom(X ;Y) et
h ≤ R < u
−1
−1 ,
(u + h)
−1
− u
−1 + u
−1
◦ h ◦ u
−1 = (u
−1
◦ h)
2
◦ (u + h)
−1 ,
donc
(u + h)
−1
− u
−1 + u
−1
◦ h ◦ u
−1
≤ C R u
−1
2
h
2 ,
où C R désigne un majorant de (u + h)
−1
pour h ≤ R. Par conséquent,
lim
h→0
1
h
(u + h)
−1
− u
−1 + u
−1
◦ h ◦ u
−1
= 0 .
Exercice 1.8
i). L’application f est de classe C
1 comme composée de l’application linéaire
u → (u, u, u) et de l’application trilinéaire (u, v, w) → u ◦ v ◦ w. Quels que
soient u ∈ L(E) et h ∈ L(E),
d f (u) · h = u ◦ u ◦ h + u ◦ h ◦ u + h ◦ u ◦ u .
ii). Soient u ∈ L(E) et h ∈ L(E). Pour alléger les écritures, on introduit v := u −I E .
On a
d f (u) · h − 3h = (v + I E )
2
◦ h + (v + I E ) ◦ h ◦ (v + I E ) + h ◦ (v + I E )
2
− 3 h =
v
2
◦ h + h ◦ v
2 + v ◦ h ◦ v + 3v ◦ h + 3h ◦ v
après développement (en prenant garde au fait que les produits de composition
ne commutent pas) et simplification. En utilisant le fait que u ◦ w ≤ ≤uw,
on en déduit
d f (u) · h − 3h ≤ ( 3 v
2 + 6 v ) h ,
ce qui donne la majoration demandée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit