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1 • Différentiabilité
iv). D’après le théorème de Banach-Picard (théorème 1.17), l’application g a un
point fixe unique. Autrement dit, quel que soit (a, b) ∈ R
2 il existe un unique
couple (x, y) ∈ R
2 tel que
(x + f (y), y + f (x)) = (a, b) .
Cela montre précisément que F est une bijection de R
2 sur R
2 . Comme (d’après
la seconde question) c’est un difféomorphisme local en tout point, F est un
difféomorphisme global.
Exercice 1.6
i). Le théorème des fonctions implicites s’applique car F est de classe C
1 et
∂ F
∂ y (x 0 , y 0 ) = 1 = 0. (Si x représente la densité d’un gaz, y son énergie interne
par unité de volume et p sa pression, l’ensemble des zéros de F fait partie de ce
que l’on appelle l’ensemble de Hugoniot à l’état de référence (x 0 , y 0 ).)
ii). Le calcul montre que
f
(x)+
1
2
∂ p
∂x
(x, f(x))+f
(x)
∂ p
∂ y
(x, f(x))
1
x
−
1
x 0
−
1
2x 2 ( p(x, f(x)) + p 0 )
est identiquement nul, d’où en particulier f
(x 0 ) = p 0 /x
2
0 .
iii). On reconnaît le taux d’accroissement de la fonction x → p(x, f(x)) entre les
points x 0 et x. Par suite
lim
x→x 0
p(x, f(x)) − p 0
x − x 0
=
d
dx
p(x, f(x)) |x=x 0 =
∂ p
∂x
(x 0 , y 0 )+f
(x 0 )
∂ p
∂ y
(x 0 , y 0 ).
Pour p(x, y) = a x y, ceci donne
lim
x→x 0
p(x, f(x)) − p 0
x − x 0
= (1 + a)
p 0
x 0
.
(Cela représente le carré de la vitesse du son dans un gaz parfait de coefficient
adiabatique g = 1 + a.)
Exercice 1.7 Connaissant le « candidat » pour la différentielle de f , à savoir que
d f (u) · h = − u
−1
◦ h ◦ u
−1 ,
il reste à vérifier que c’est effectivement la différentielle de f en revenant à la définition.
On a besoin pour cela de savoir que f : u → u
−1 est localement bornée. Or, si
1 • Différentiabilité
iv). D’après le théorème de Banach-Picard (théorème 1.17), l’application g a un
point fixe unique. Autrement dit, quel que soit (a, b) ∈ R
2 il existe un unique
couple (x, y) ∈ R
2 tel que
(x + f (y), y + f (x)) = (a, b) .
Cela montre précisément que F est une bijection de R
2 sur R
2 . Comme (d’après
la seconde question) c’est un difféomorphisme local en tout point, F est un
difféomorphisme global.
Exercice 1.6
i). Le théorème des fonctions implicites s’applique car F est de classe C
1 et
∂ F
∂ y (x 0 , y 0 ) = 1 = 0. (Si x représente la densité d’un gaz, y son énergie interne
par unité de volume et p sa pression, l’ensemble des zéros de F fait partie de ce
que l’on appelle l’ensemble de Hugoniot à l’état de référence (x 0 , y 0 ).)
ii). Le calcul montre que
f
(x)+
1
2
∂ p
∂x
(x, f(x))+f
(x)
∂ p
∂ y
(x, f(x))
1
x
−
1
x 0
−
1
2x 2 ( p(x, f(x)) + p 0 )
est identiquement nul, d’où en particulier f
(x 0 ) = p 0 /x
2
0 .
iii). On reconnaît le taux d’accroissement de la fonction x → p(x, f(x)) entre les
points x 0 et x. Par suite
lim
x→x 0
p(x, f(x)) − p 0
x − x 0
=
d
dx
p(x, f(x)) |x=x 0 =
∂ p
∂x
(x 0 , y 0 )+f
(x 0 )
∂ p
∂ y
(x 0 , y 0 ).
Pour p(x, y) = a x y, ceci donne
lim
x→x 0
p(x, f(x)) − p 0
x − x 0
= (1 + a)
p 0
x 0
.
(Cela représente le carré de la vitesse du son dans un gaz parfait de coefficient
adiabatique g = 1 + a.)
Exercice 1.7 Connaissant le « candidat » pour la différentielle de f , à savoir que
d f (u) · h = − u
−1
◦ h ◦ u
−1 ,
il reste à vérifier que c’est effectivement la différentielle de f en revenant à la définition.
On a besoin pour cela de savoir que f : u → u
−1 est localement bornée. Or, si