Solution des exercices
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SOLUTION DES EXERCICES
Exercice 1.1
i). On remarque que N est la fonction composée de la fonction quadratique q : x →
x, x, différentiable sur R
n et de la fonction r : t →
√
t, dérivable sur l’ouvert
V = R
+∗ . Donc d’après le théorème 1.5, N = r ◦ q est différentiable sur R
n
\{0}
et
dN (x) · h = r
(q(x)) dq(x) · h =
x, h
x
.
ii). L’application e r est différentiable sur V comme quotient de l’application identité
I de R
n et de N . Sa différentielle est donnée par
de r (x) · h =
dI (x) · h
x
−
dN (x) · h
x 2 x =
h
x
−
x, h x
x 3 .
(Notons que de r (x) · h, e r (x) = 0, ce qui est dû au fait que e r (x) est
constante.)
iii). Comme f = w ◦ N , elle est différentiable sur V et
d f (x) · h = w
(x) dN (x) · h = w
(x)
x, h
x
= w
(x) e r (x), h
par bilinéarité du produit scalaire. Autrement dit, ∇ f (x) = w
(x) e r (x).
iv). On a u = (U ◦ N ) × e r , donc elle est différentiable sur V et d’après ce qui
précède
du(x) · h = U
(x) e r (x) , h e r (x) + U (x) de r (x) · h =
U
(x) e r (x) , h e r (x) +
U (x)
x
h − −e r (x), h e r (x)
.
Autrement dit, la matrice jacobienne de u est
Du(x) =
U (x)
x
I n +
U
(x) −
U (x)
x
e r (x) e r (x)
t .
Par suite, la matrice I n étant de trace n et e r (x) e r (x) t (de rang 1) étant de trace 1,
(div u)(x) = tr (Du(x)) = U
(x) +
n − 1
x
U (x) .
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