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1 • Différentiabilité
tout M ∈ U, M M t = I n équivaut à
M =
M − M t
2
+ c
M − M t
2
.
Exercice 1.13 Soit E l’ensemble des fonctions f : R → R, de classe C
1 et
1-périodiques (c’est-à-dire telles que f (x + 1) = f (x) pour tout x ∈ R).
On munit E de la norme définie par
f E = max( f ∞ , f
∞ ) où g ∞ := max
x∈[0,1]
|g(x)| ,
qui en fait un espace de Banach. Pour tout f ∈ E et pour tout s ∈ R, on note f s la
fonction x → f s (x) := f (x + s).
Soit g ∈ E, non constante, et
F : E × R → R
( f , s) → F( f , s) :=
1
0
f s (x) g
(x) dx .
i). Montrer que F est de classe C
1 et calculer sa différentielle dF( f , s) en tout point
( f , s) ∈ E × R.
ii). Montrer que, au voisinage de (g, 0), l’égalité F( f , s) = 0 équivaut à s = s( f ),
où s est une fonction de classe C
1 .
Exercice 1.14 Soit f ∈ C
1 (U ; R), où U est un ouvert de R
n , telle que d f ne
s’annule pas. Montrer que ses ensembles de niveau F a := {y ∈ U ; f (y) = a} sont
des hypersurfaces, c’est-à-dire que pour tout a ∈ R, pour tout x ∈ U il existe un
voisinage V x de x, un ouvert O de R
n−1 et F ∈ C
1 (V x ; R
n ) tels que F a ∩ V x = {y =
F(j) ; j ∈ O} .