Exercices
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ii). Soit
g : F × E → E
(l, x) → g(l, x) := x − f (l, x) .
Justifier que g est de classe C
1 , et montrer que pour tout (l, x) ∈ F × E, d 2 g(l, x)
est un isomorphisme de E sur lui-même.
iii). On fixe l 0 ∈ F, et l’on note x 0 = w(l 0 ). Montrer qu’il existe un voisinage V de
l 0 dans F et c : V → E une application de classe C
1 telle que, pour tout l ∈ V ,
f (l, c(l)) = c(l).
iv). Déduire que w est de classe C
1 et calculer sa différentielle.
v). Application. Montrer que le système
x =
1
2 sin(x + y) + t − 1 ,
y =
1
2 cos(x − y) − t +
1
2 ,
admet, pour tout t ∈ R, une unique solution (x, y) = (x(t), y(t)), et que l’application t → (x(t), y(t)) est de classe C
1 sur R. Montrer que x(t) = y(t) = 0 si et
seulement si t = 1. Calculer x
(1) et y
(1).
Exercice 1.12 Soient E = M n (R), G = A n (R) le sous-espace des matrices
antisymétriques, et F = S n (R) le sous-espace des matrices symétriques. On rappelle
que, par définition, une matrice A est antisymétrique si A t = −A, et qu’une matrice
S est symétrique si S t = S. On notera I n la matrice identité et 0 n la matrice nulle. On
considère l’application
f : G × F → F
(A, S) → f (A, S) := (S + A)(S − A) − I n .
i). Montrer que f est de classe C
1 et calculer d f (A,S) pour tout (A, S) ∈ G × F.
ii). Montrer que la différentielle partielle de f par rapport à S, d 2 f est telle que
d 2 f (0 n , I n ) est un isomorphisme de F.
iii). Déduire de ce qui précède qu’il existe un voisinage V de 0 n dans G, un voisinage
W de I n dans F, et une application w : V → W de classe C
1 tels que, pour tout
(A, S) ∈ V × W, f (A, S) = 0 n équivaut à S = w(A).
iv). Calculer dw(0 n ).
v). Démontrer que E = F ⊕ G : pour toute matrice M, on calculera S ∈ F et
A ∈ G en fonction de M et M t tels que M = S + A.
vi). Déduire de ce qui précède qu’il existe un voisinage U de I n dans M n (R), et une
application c : V → F de classe C
1 tels que, c(0 n ) = I n , dc(0 n ) ≡ 0, et pour
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ii). Soit
g : F × E → E
(l, x) → g(l, x) := x − f (l, x) .
Justifier que g est de classe C
1 , et montrer que pour tout (l, x) ∈ F × E, d 2 g(l, x)
est un isomorphisme de E sur lui-même.
iii). On fixe l 0 ∈ F, et l’on note x 0 = w(l 0 ). Montrer qu’il existe un voisinage V de
l 0 dans F et c : V → E une application de classe C
1 telle que, pour tout l ∈ V ,
f (l, c(l)) = c(l).
iv). Déduire que w est de classe C
1 et calculer sa différentielle.
v). Application. Montrer que le système
x =
1
2 sin(x + y) + t − 1 ,
y =
1
2 cos(x − y) − t +
1
2 ,
admet, pour tout t ∈ R, une unique solution (x, y) = (x(t), y(t)), et que l’application t → (x(t), y(t)) est de classe C
1 sur R. Montrer que x(t) = y(t) = 0 si et
seulement si t = 1. Calculer x
(1) et y
(1).
Exercice 1.12 Soient E = M n (R), G = A n (R) le sous-espace des matrices
antisymétriques, et F = S n (R) le sous-espace des matrices symétriques. On rappelle
que, par définition, une matrice A est antisymétrique si A t = −A, et qu’une matrice
S est symétrique si S t = S. On notera I n la matrice identité et 0 n la matrice nulle. On
considère l’application
f : G × F → F
(A, S) → f (A, S) := (S + A)(S − A) − I n .
i). Montrer que f est de classe C
1 et calculer d f (A,S) pour tout (A, S) ∈ G × F.
ii). Montrer que la différentielle partielle de f par rapport à S, d 2 f est telle que
d 2 f (0 n , I n ) est un isomorphisme de F.
iii). Déduire de ce qui précède qu’il existe un voisinage V de 0 n dans G, un voisinage
W de I n dans F, et une application w : V → W de classe C
1 tels que, pour tout
(A, S) ∈ V × W, f (A, S) = 0 n équivaut à S = w(A).
iv). Calculer dw(0 n ).
v). Démontrer que E = F ⊕ G : pour toute matrice M, on calculera S ∈ F et
A ∈ G en fonction de M et M t tels que M = S + A.
vi). Déduire de ce qui précède qu’il existe un voisinage U de I n dans M n (R), et une
application c : V → F de classe C
1 tels que, c(0 n ) = I n , dc(0 n ) ≡ 0, et pour
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