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1 • Différentiabilité
iii). On suppose ici E = R
2 , et l’on considère les éléments u et h de L(E) dont les
matrices dans la base canonique de R
2 sont respectivement
U :=
−1 0
0 1
et H :=
0 1
0 0
.
Calculer dQ(u) · h. En déduire qu’il n’existe pas de fonction différentiable C
définie sur un voisinage W de I E et à valeurs dans un voisinage de u dans L(E),
telle que C(I E ) = u et C(w) ◦ C(w) = w pour tout w ∈ W.
Exercice 1.10 Soit E un espace de Banach. On fixe u un isomorphisme de E sur
lui-même, et l’on considère
f : L(E) → L(E)
v
→ f (v) := 2v − v ◦ u ◦ v .
i). Montrer que f est de classe C
1 et calculer sa différentielle. Que valent f (u
−1 )
et d f (u
−1 ) ?
ii). Montrer qu’il existe a > 0 tel que, pour tout v ∈ L(E),
v − u
−1
≤ a =⇒ ⇒d f (v) ≤
1
2
.
iii). On fixe v 0 ∈ L(E) tel que v 0 − u
−1
≤ a, et l’on définit par récurrence
v p+1 = f (v p ) pour tout p ∈ N. Montrer que pour tout p ∈ N, v p − u
−1
≤ a.
En déduire que la suite (v p ) p∈N converge vers u
−1 dans L(E).
Exercice 1.11 Soient E et F des espaces de Banach et
f : F × E → E
(l, x) → f (l, x)
une application de classe C
1 . On suppose qu’il existe k ∈ [0, 1[ tel que, pour tout
(l, x) ∈ F × E, d 2 f (l, x) ≤ k (où d 2 f désigne la différentielle partielle de f par
rapport à x).
i). Montrer que pour tout l ∈ F, il existe un unique x = x(l) ∈ E tel que
f (l, x) = x. Le but de ce qui suit est de montrer que l’application
w : F → E
l → x(l)
est de classe C
1 .