Exercices
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ii). Exprimer f
à l’aide de p et de ses dérivées partielles.
iii). On suppose ici que p(x, y) = a x y avec a > 0. Montrer que
p(x, f(x)) − p 0
x − x 0
a une limite lorsque x tend vers x 0 et la calculer.
Exercice 1.7 Soient X , Y des R-espaces de Banach, E := L(X ; Y ), U =
Isom(X ;Y) ⊂ E, et
f : U → F := L(Y ; X )
u → u
−1 .
Démontrer que f est différentiable et d f (u) · h = − u
−1
◦ h ◦ u
−1 pour tout (u, h) ∈
U × E.
Exercice 1.8 Soit E un espace de Banach. On notera I E : x ∈ E → x, et
I : u ∈ L(E) → u . Soit f : L(E) → L(E)
u
→ f (u) := u
3 = u ◦ u ◦ u.
i). Montrer que f est de classe C
1 sur L(E) et calculer sa différentielle.
ii). Démontrer l’inégalité :
d f (u) − 3 I L(L(E)) ≤ 6 u−I E L(E) + 3 u−I E
2
L(E) pour tout u ∈ L(E) .
iii). Soit B la boule ouverte dans L(E), de centre I E et de rayon 1/3. Montrer que
pour tout u ∈ B,
1
3 d f (u) est un isomorphisme de L(E) dans L(E).
iv). a) Pour u ∈ B, on pose g(u) = f (u) − 3 u. Montrer que pour tout (u, v) ∈
B × B,
g(u) − g(v) ≤
7
3
u − v .
b) En déduire que f est injective sur B.
v). Montrer que f est un (C
1 ) difféomorphisme de B sur f (B).
Exercice 1.9 Soit E un espace de Banach. On note I E : x → x l’application
identité sur E. Soit Q : L(E) → L(E)
u
→ Q(u) := u ◦ u .
i). Montrer que Q est de classe C
1 sur L(E) et calculer sa différentielle.
ii). Montrer qu’il existe ´ > 0 tel que, pour tout v ∈ L(E) vérifiant v − I E < ´,
l’équation u ◦ u = v possède une solution dans L(E).
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