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1 • Différentiabilité
ii). On définit
F : R
2
→ R
2
(x, y) → F(x, y) := ( f (x, y), g(x, y)) .
a) On note B :=] − 1, 1[×] − 1, 1[, et pour fixer les idées, on munit R
2 de la
norme · · ∞ . Montrer que F est Lipschitzienne sur B.
b) En supposant w(0) = 0 et w(1) = 0, montrer que F est un difféomorphisme
local au point (0, 1). Dire pourquoi il en est de même au point (1, 0).
c) En supposant que w(t) > 0 pour tout t ∈ R, montrer que la restriction de F à
D := {(x, y) ; x < y}
est un difféomorphisme de D sur F(D).
Exercice 1.5 Soit f : R → R une application de classe C
1 . On suppose qu’il existe a ∈ [0, 1[ tel que, pour tout x ∈ R, | f
(x)| ≤ a. Soit
F : R
2
→ R
2
(x, y) → F(x, y) := (x + f (y), y + f (x)) .
i). Montrer que F est de classe C
1 sur R
2 .
ii). Montrer que pour tout (x, y) ∈ R
2 , dF(x, y) est un isomorphisme de R
2 sur
lui-même.
iii). On fixe (a, b) ∈ R
2 . Soit g :
R
2
→ R
2
(x, y) → g(x, y) := (a − f (y), b − f (x)) .
Montrer que g est contractante sur R
2 , c’est-à-dire qu’il existe k ∈ [0, 1[ tel que
pour tous (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 ) dans R
2 ,
g(x 1 , y 1 ) − g(x 2 , y 2 ) ≤ k (x 1 , y 1 ) − (x 2 , y 2 ) .
iv). Déduire de ce qui précède que F est un (C
1 -)difféomorphisme de R
2 sur R
2 .
Exercice 1.6 Soient p une fonction de classe C
1 sur R
+∗
× R, (x 0 , y 0 ) ∈ R
+∗
× R,
p 0 := p(x 0 , y 0 ) et F : R
+∗
× R → R définie par
F(x, y) := y − y 0 +
1
2
( p(x, y) + p 0 )
1
x
−
1
x 0
.
i). Montrer qu’au voisinage de (x 0 , y 0 ), F(x, y) = 0 équivaut à y = f(x), où f est
une fonction de classe C
1 .