Exercices
33
EXERCICES
Exercice 1.1 On munit R
n du produit scalaire habituel ., . et de la norme euclidienne associée ..
i). Déterminer l’ensemble V des points de R
n où l’application N : R
n
→ R définie
par N (x) = x est différentiable et calculer dN (x) · h, pour x ∈ V, h ∈ R
n .
ii). Montrer que l’application e r : R
n
→ R
n définie par e r (x) = x/x est différentiable sur V et calculer de r (x) · h, pour x ∈ V, h ∈ R
n .
iii). Soit f : R
n
→ R une fonction radiale, c’est-à-dire telle que f (x) = w(x) pour
tout x. En supposant w dérivable sur R
+∗ , montrer que f est différentiable sur V
et exprimer son gradient à l’aide de la dérivée de w et de e r .
iv). Soit u : R
n
→ R
n une fonction radiale, c’est-à-dire telle que
u(x) = U (x) x/x pour tout x, où U : R
+∗
→ R est supposée dérivable. Déduire de ce qui précède que u est différentiable sur R
n
\{0} et calculer
sa divergence.
Exercice 1.2 Montrer que la fonction f : R
2
→ R définie par f (0, 0) = 0 et
f (x, y) = x
3 /(x
2 + y
2 ) est différentiable dans toutes les directions mais pas différentiable en (0, 0).
Exercice 1.3 Soient f et g deux fonctions de classe C
1 sur R et à valeurs dans R.
On suppose que pour tout (x, y) ∈ R
2 , f
(x) = g
(y). Montrer que la fonction
F : R
2
→ R
2
(x, y) → F(x, y) := (x + y, f (x) + g(y))
est un (C
1 ) difféomorphisme de R
2 sur son image.
Exercice 1.4 Soient w une application continue de R dans R, et f , g : R
2
→ R
définies par
f (x, y) :=
x+y
0
w(t) dt et g(x, y) :=
xy
0
w(t) dt .
i). Montrer que f et g sont de classe C
1 sur R
2 et calculer leurs différentielles.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit