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1 • Différentiabilité
Par conséquent, g est un difféomorphisme d’un voisinage ouvert U (a,b) de
(a, b) sur voisinage ouvert de (a, 0), que l’on peut supposer de la forme
W a × Z 0 où W a est un voisinage ouvert de a et Z 0 est un voisinage ouvert
de 0 G . La réciproque de g est nécessairement de la forme
g
−1 (x, z) = ( x , f(x, z) ) ,
avec f de classe C
1 sur W a × Z 0 . Autrement dit, on a
( (x, y) ∈ U (a,b) et f (x, y) = z ) ⇔ ( (x, z) ∈ W a × Z 0 et y = f(x, z) ) .
En particulier,
( (x, y) ∈ U (a,b) et f (x, y) = 0 ) ⇔ ( x ∈ W a et y = w(x) ) ,
où l’on a noté w(x) = f(x, 0).
Proposition 1.21 Sous les hypothèses du théorème 1.20, quitte à réduire W a , on a
dw(x) · h = − (d 2 f (x, w(x)))
−1 d 1 f (x, w(x)) · h
pour tout x ∈ W a et pour tout h ∈ E.
Démonstration. L’image réciproque de l’ouvert Isom(F; G) par l’application continue d 2 f est un ouvert et il contient (a, b). Donc, quitte à réduire
U (a,b) et donc aussi W a , on peut supposer
d 2 f (x, w(x)) ∈ Isom(F; G) pour tout x ∈ W a .
On obtient le résultat en différentiant la fonction x → f (x, w(x)), identiquement nulle dans W a .
Signalons au passage que le théorème de Banach cité en préambule (théorème 0.1)
permet de simplifier la vérification des hypothèses des théorèmes d’inversion locale
ou des fonctions implicites, la continuité des applications linéaires réciproques étant
automatiquement satisfaite.
1 • Différentiabilité
Par conséquent, g est un difféomorphisme d’un voisinage ouvert U (a,b) de
(a, b) sur voisinage ouvert de (a, 0), que l’on peut supposer de la forme
W a × Z 0 où W a est un voisinage ouvert de a et Z 0 est un voisinage ouvert
de 0 G . La réciproque de g est nécessairement de la forme
g
−1 (x, z) = ( x , f(x, z) ) ,
avec f de classe C
1 sur W a × Z 0 . Autrement dit, on a
( (x, y) ∈ U (a,b) et f (x, y) = z ) ⇔ ( (x, z) ∈ W a × Z 0 et y = f(x, z) ) .
En particulier,
( (x, y) ∈ U (a,b) et f (x, y) = 0 ) ⇔ ( x ∈ W a et y = w(x) ) ,
où l’on a noté w(x) = f(x, 0).
Proposition 1.21 Sous les hypothèses du théorème 1.20, quitte à réduire W a , on a
dw(x) · h = − (d 2 f (x, w(x)))
−1 d 1 f (x, w(x)) · h
pour tout x ∈ W a et pour tout h ∈ E.
Démonstration. L’image réciproque de l’ouvert Isom(F; G) par l’application continue d 2 f est un ouvert et il contient (a, b). Donc, quitte à réduire
U (a,b) et donc aussi W a , on peut supposer
d 2 f (x, w(x)) ∈ Isom(F; G) pour tout x ∈ W a .
On obtient le résultat en différentiant la fonction x → f (x, w(x)), identiquement nulle dans W a .
Signalons au passage que le théorème de Banach cité en préambule (théorème 0.1)
permet de simplifier la vérification des hypothèses des théorèmes d’inversion locale
ou des fonctions implicites, la continuité des applications linéaires réciproques étant
automatiquement satisfaite.