1.4 Théorème des fonctions implicites
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1.4 THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES
Parmi les conséquences fondamentales du théorème d’inversion locale, on trouve un
résultat tout aussi important, connu sous le nom de théorème des fonctions implicites
(en fait ces deux théorèmes sont équivalents, car on peut aussi déduire le premier du
second). Il concerne la résolution d’équations non-linéaires de la forme :
f (x, y) = 0 ,
et doit son nom au fait que, sous les hypothèses que l’on va préciser, on peut en tirer y
comme fonction de x : on dit alors que f (x, y) = 0 définit implicitement y, ou encore
y comme fonction implicite de x.
Dans l’énoncé qui suit, E, F et G sont trois espaces de Banach.
Théorème 1.20 Soit U un ouvert de E × F et f : U → G une fonction de classe C
1 .
On suppose qu’il existe (a, b) ∈ U tel que f (a, b) = 0 G et la différentielle partielle
de f par rapport à y, d 2 f est telle que d 2 f (a, b) soit un isomorphisme de F sur G.
Alors il existe un voisinage ouvert U (a,b) de (a, b) dans U , un voisinage ouvert W a de
a dans E et une fonction w ∈ C
1 (W a ; F) telle que :
( (x, y) ∈ U (a,b) et f (x, y) = 0 G )
⇔
y = w(x) .
Démonstration. Comme annoncé, on va appliquer le théorème d’inversion
locale. Pour cela, on considère la fonction
g :
U
→ E × G
(x, y) → ( x , f (x, y) ) .
Elle est de classe C
1 , et pour tout (x, y) ∈ U , pour tout (h, k) ∈ E × F, on a
dg(x, y) · (h, k) = ( h , d 1 f (x, y) · h + d 2 f (x, y) · k ) ,
où d 1 f désigne la différentielle partielle de f par rapport à x. Vérifions que
dg(a, b) est un isomorphisme de E × F sur E × G : d’après l’hypothèse sur
la différentielle partielle d 2 f , on a pour tout (h
, k
) ∈ E × G,
(h, k) ∈ E × F et dg(a, b) · (h, k) = (h
, k
)
équivaut à
h = h
et k = (d 2 f (a, b))
−1 ( k
− d 1 f (a, b) · h
) .
Donc dg(a, b) est bien un isomorphisme, d’inverse
(dg(a, b))
−1 : E × G → E × F
(h
, k
) → ( h
, (d 2 f (a, b))
−1 ( k
− d 1 f (a, b) · h
) ) .
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