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1 • Différentiabilité
x + h − x − (d f (x))
−1
· ( f (x + h) − f (x) )
≤ (d f (x))
−1
f (x + h) − f (x) − d f (x) · h ,
d’où encore
f
−1 (y + k) − f
−1 (y) − (d f (x))
−1
· k
k
≤
2
f (x + h) − f (x) − d f (x) · h
h
h
k
.
Or d’après le (2), h/k ≤ 2. On conclut en appliquant la définition de
la différentiabilité à f .
Le théorème d’inversion locale est fondamental en analyse. Le corollaire qui suit,
parfois appelé théorème d’inversion globale, caractérise complètement les difféomorphismes.
Corollaire 1.18 Soit f : U → F une application de classe C
1 avec U un ouvert non
vide. C’est un difféomorphisme (de U sur f (U )) si et seulement si elle est injective et
sa différentielle est en tout point de U un isomorphisme de E sur F.
Démonstration. La partie directe découle de la définition et de la proposition 1.14. Réciproquement, supposons f injective et telle que d f (x) ∈
Isom(E; F) pour tout x ∈ U . Alors f est bien sûr bijective de U sur f (U ).
De plus, le théorème d’inversion locale montre que f (U ) est un ouvert.
En effet, pour tout y = f (x) ∈ f (U ), il existe un voisinage ouvert de y
qui s’écrit V y = f (U x ), où U x est un voisinage ouvert de x dans U , et
qui est par conséquent inclus dans f (U ). En fait, on montre de la même
façon que l’image par f de tout ouvert inclus dans U est un ouvert. (On dit
alors que f est une application ouverte.) Par suite, l’application réciproque
f
−1 : f (U ) → U est continue. De plus, l’application
f (U ) → L(F; E)
y
→ (d f ( f
−1 (y)))
−1 .
est continue comme composée d’applications continues, et l’on sait d’après
l’étape (3) de la démonstration du théorème d’inversion locale que c’est
(localement) la différentielle de f
−1 . Donc f
−1 est continûment différentiable.
En dimension finie, le résultat peut s’énoncer ainsi :
Corollaire 1.19 Soit U un ouvert de R
p et f : U → R
p injective et de classe
C
1 . Alors f est un difféomorphisme si et seulement si le déterminant de sa matrice
jacobienne (que l’on appelle simplement le jacobien de f ) ne s’annule pas sur U .
1 • Différentiabilité
x + h − x − (d f (x))
−1
· ( f (x + h) − f (x) )
≤ (d f (x))
−1
f (x + h) − f (x) − d f (x) · h ,
d’où encore
f
−1 (y + k) − f
−1 (y) − (d f (x))
−1
· k
k
≤
2
f (x + h) − f (x) − d f (x) · h
h
h
k
.
Or d’après le (2), h/k ≤ 2. On conclut en appliquant la définition de
la différentiabilité à f .
Le théorème d’inversion locale est fondamental en analyse. Le corollaire qui suit,
parfois appelé théorème d’inversion globale, caractérise complètement les difféomorphismes.
Corollaire 1.18 Soit f : U → F une application de classe C
1 avec U un ouvert non
vide. C’est un difféomorphisme (de U sur f (U )) si et seulement si elle est injective et
sa différentielle est en tout point de U un isomorphisme de E sur F.
Démonstration. La partie directe découle de la définition et de la proposition 1.14. Réciproquement, supposons f injective et telle que d f (x) ∈
Isom(E; F) pour tout x ∈ U . Alors f est bien sûr bijective de U sur f (U ).
De plus, le théorème d’inversion locale montre que f (U ) est un ouvert.
En effet, pour tout y = f (x) ∈ f (U ), il existe un voisinage ouvert de y
qui s’écrit V y = f (U x ), où U x est un voisinage ouvert de x dans U , et
qui est par conséquent inclus dans f (U ). En fait, on montre de la même
façon que l’image par f de tout ouvert inclus dans U est un ouvert. (On dit
alors que f est une application ouverte.) Par suite, l’application réciproque
f
−1 : f (U ) → U est continue. De plus, l’application
f (U ) → L(F; E)
y
→ (d f ( f
−1 (y)))
−1 .
est continue comme composée d’applications continues, et l’on sait d’après
l’étape (3) de la démonstration du théorème d’inversion locale que c’est
(localement) la différentielle de f
−1 . Donc f
−1 est continûment différentiable.
En dimension finie, le résultat peut s’énoncer ainsi :
Corollaire 1.19 Soit U un ouvert de R
p et f : U → R
p injective et de classe
C
1 . Alors f est un difféomorphisme si et seulement si le déterminant de sa matrice
jacobienne (que l’on appelle simplement le jacobien de f ) ne s’annule pas sur U .