1.3 Théorème d’inversion locale
29
Vérifions ensuite que h est contractante :
si x et x
∈ B(0; 2r ) , h(x) − h(x
) = g(x) − g(x
) ≤
1
2
x − x
en appliquant une nouvelle fois le théorème des accroissements finis à g
dans B(0; 2r ). Par continuité de g (et donc de h) à nouveau, l’inégalité cidessus est même vraie dans la boule fermée B(0; 2r ). Donc le théorème 1.17
s’applique bien à h dans B(0; 2r ). On observe de plus que son point fixe x
appartient en fait à la boule ouverte B(0; 2r ) : puisque y ∈ B(0; r ),
x = h(x) ≤ ≤y + g(x) < r + g(x) ≤ 2r .
Par conséquent, la restriction de f à U 0 := B(0; 2r ) ∩ f
−1 (B(0; r )), qui
est un voisinage ouvert de 0, est une bijection de U 0 sur B(0; r ). Par abus de
notation, on note simplement f
−1 sa réciproque.
(2) La fonction f
−1 est Lipschitzienne : Soient y = f (x) et y
=
f (x
) ∈ B(0; r ), avec x , x
∈ B(0; 2r ). Alors
x − x
= y + g(x) − y
− g(x
) ≤ ≤ y − y
+
1
2
x − x
,
d’où x − x
≤ 2 y − y
.
(3) La fonction f
−1 est de classe C
1 : Par continuité de d f et puisque
Isom(E; E) est un ouvert, pour r assez petit, d f (x) ∈ Isom(E; E) pour
tout x ∈ B(0; 2r ) ; de plus, par continuité de u ∈ Isom(E; E) → u
−1 ,
l’application
B(0; 2r ) → Isom(E; E)
x
→ (d f (x))
−1
est continue. Comme d f (0) = Id E , quitte à diminuer encore r on peut
supposer (d f (x))
−1
≤ 2 pour tout x ∈ B(0; 2r ). Cette estimation et la
constante de Lipschitz obtenue au (2) permettent de montrer que le candidat
(d f (x))
−1 est effectivement la différentielle de f
−1 au point y = f (x), quel
que soit x ∈ B(0; 2r ). On revient pour cela à la définition de la différentielle.
Il faut montrer que le rapport
f
−1 (y + k) − f
−1 (y) − (d f (x))
−1 (k)
k
tend vers 0 avec k. Pour cela on écrit x + h = f
−1 (y + k) (pour k ∈
B(0; r − −y)). D’où
f
−1 (y + k) − f
−1 (y) − (d f (x))
−1
· k =
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