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1 • Différentiabilité
Démonstration du théorème 1.16. On procède en quatre étapes :
(0) Réduction du problème. Pour simplifier les calculs, on peut sans perte
de généralité se ramener au cas où
E = F , a = b = 0 et d f (a) = Id E .
(1.9)
C’est possible en remplaçant l’ouvert U par l’ensemble
U des x tels que
a + x appartient à U , et f par
f définie par
f (x) = (d f (a))
−1 ( f (a + x) − f (a) ) .
Si l’on démontre le résultat pour
f , on en déduira immédiatement le résultat
pour f . Désormais, on enlève les tildas et l’on se place dans le cas (1.9).
(1) Existence de la fonction réciproque locale. Considérons l’application
g : x ∈ U → g(x) := x − f (x) .
D’après les hypothèses et (1.9), g est de classe C
1 et telle que
g(0) = 0 , dg(0) = 0 .
Donc il existe r > 0 tel que pour x ≤ 2r , x ∈ U et
dg(x) ≤ 1/2 .
D’après le théorème des accroissements finis appliqué à g dans la boule
B(0; 2r ) de centre 0 et de rayon 2r ,
g(x) = g(x) − g(0) ≤
1
2
x < r
pour tout x ∈ B(0; 2r ). Ceci signifie que g(B(0; 2r )) ⊂ B(0; r ). Par continuité de g, on a aussi l’inclusion avec les boules fermées : g(B(0; 2r )) ⊂
B(0; r ).
Nous allons montrer que pour tout y ∈ B(0; r ), il existe un unique x ∈
B(0; 2r ) tel que y = f (x). Pour cela, fixons y ∈ B(0; r ) et considérons
l’application
h : x ∈ B(0; 2r ) → h(x) := y + g(x) .
On aura y = f (x) si et seulement si h(x) = x. C’est ici bien sûr qu’intervient le théorème du point fixe. Vérifions d’abord que la boule fermée
B(0; 2r ) est stable par h :
si x ∈ B(0; 2r ) , h(x) ≤ ≤y + g(x) < r + r = 2r .
1 • Différentiabilité
Démonstration du théorème 1.16. On procède en quatre étapes :
(0) Réduction du problème. Pour simplifier les calculs, on peut sans perte
de généralité se ramener au cas où
E = F , a = b = 0 et d f (a) = Id E .
(1.9)
C’est possible en remplaçant l’ouvert U par l’ensemble
U des x tels que
a + x appartient à U , et f par
f définie par
f (x) = (d f (a))
−1 ( f (a + x) − f (a) ) .
Si l’on démontre le résultat pour
f , on en déduira immédiatement le résultat
pour f . Désormais, on enlève les tildas et l’on se place dans le cas (1.9).
(1) Existence de la fonction réciproque locale. Considérons l’application
g : x ∈ U → g(x) := x − f (x) .
D’après les hypothèses et (1.9), g est de classe C
1 et telle que
g(0) = 0 , dg(0) = 0 .
Donc il existe r > 0 tel que pour x ≤ 2r , x ∈ U et
dg(x) ≤ 1/2 .
D’après le théorème des accroissements finis appliqué à g dans la boule
B(0; 2r ) de centre 0 et de rayon 2r ,
g(x) = g(x) − g(0) ≤
1
2
x < r
pour tout x ∈ B(0; 2r ). Ceci signifie que g(B(0; 2r )) ⊂ B(0; r ). Par continuité de g, on a aussi l’inclusion avec les boules fermées : g(B(0; 2r )) ⊂
B(0; r ).
Nous allons montrer que pour tout y ∈ B(0; r ), il existe un unique x ∈
B(0; 2r ) tel que y = f (x). Pour cela, fixons y ∈ B(0; r ) et considérons
l’application
h : x ∈ B(0; 2r ) → h(x) := y + g(x) .
On aura y = f (x) si et seulement si h(x) = x. C’est ici bien sûr qu’intervient le théorème du point fixe. Vérifions d’abord que la boule fermée
B(0; 2r ) est stable par h :
si x ∈ B(0; 2r ) , h(x) ≤ ≤y + g(x) < r + r = 2r .