1.3 Théorème d’inversion locale
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un voisinage ouvert V b de b = f (a) dans V tel que la restriction de f à U a soit un
difféomorphisme de U a sur V b .
La démonstration utilise essentiellement trois ingrédients :
1) le fait que l’ensemble Isom(E; F) des isomorphismes de E sur F soit un ouvert
et que l’application u ∈ Isom(E; F) → u
−1
∈ Isom(F; E) soit continue,
2) le théorème des accroissements finis,
3) le théorème du point fixe de Banach-Picard.
Le point 1) a été partiellement abordé en préambule. Il est démontré en particulier
dans l’exercice 1.7. Le point 2) a fait l’objet du paragraphe 1.2.3. Pour le point 3),
rappelons le
Théorème 1.17 (Banach–Picard) Si C est un fermé non vide d’un espace de Banach
E et si h : C → C est contractante, c’est-à-dire qu’il existe k ∈]0, 1[ tel que
h(x) − h(x
) E ≤ k x − x
E quels que soient x et x
∈ C ,
alors il existe un unique x ∈ C tel que h(x) = x.
Démonstration. L’unicité du point fixe, s’il existe, résulte immédiatement
du fait que h est contractante, car si x 0 et x 1 étaient deux points fixes distincts
on aurait
x 0 − x 1 E = h(x 0 ) − h(x 1 ) E ≤ k x 0 − x 1 E < x 0 − x 1 E ,
d’où une contradiction. Le point fixe s’obtient comme limite de la suite
des itérés x n+1 = h(x n ) obtenue à partir d’un point quelconque x 0 de C.
Cette méthode est attribuée à Picard. La formule de récurrence x n+1 = h(x n )
définit en effet une suite d’éléments de C (et de terme général x n = h
n (x 0 ))
car C est stable par h. C’est en outre une suite de Cauchy : pour tout n ≥ 1,
x n+1 − x n E = h(x n ) − h(x n−1 ) E ≤ k x n − x n−1 E ,
d’où l’on tire par une récurrence immédiate l’inégalité
x n+1 − x n E ≤ k
n
x 1 − x 0 E ,
qui implique que la suite (x n ) est de Cauchy car la série de terme général
k
n est convergente (puisque 0 < k < 1). L’ensemble C étant complet
(comme sous-ensemble fermé d’un espace complet), la suite (x n ) est donc
convergente dans C. Soit alors x sa limite. Comme h est Lipschitzienne (de
rapport k) elle est a fortiori continue et par conséquent, en passant à la limite
dans la formule x n+1 = h(x n ), on obtient x = h(x).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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un voisinage ouvert V b de b = f (a) dans V tel que la restriction de f à U a soit un
difféomorphisme de U a sur V b .
La démonstration utilise essentiellement trois ingrédients :
1) le fait que l’ensemble Isom(E; F) des isomorphismes de E sur F soit un ouvert
et que l’application u ∈ Isom(E; F) → u
−1
∈ Isom(F; E) soit continue,
2) le théorème des accroissements finis,
3) le théorème du point fixe de Banach-Picard.
Le point 1) a été partiellement abordé en préambule. Il est démontré en particulier
dans l’exercice 1.7. Le point 2) a fait l’objet du paragraphe 1.2.3. Pour le point 3),
rappelons le
Théorème 1.17 (Banach–Picard) Si C est un fermé non vide d’un espace de Banach
E et si h : C → C est contractante, c’est-à-dire qu’il existe k ∈]0, 1[ tel que
h(x) − h(x
) E ≤ k x − x
E quels que soient x et x
∈ C ,
alors il existe un unique x ∈ C tel que h(x) = x.
Démonstration. L’unicité du point fixe, s’il existe, résulte immédiatement
du fait que h est contractante, car si x 0 et x 1 étaient deux points fixes distincts
on aurait
x 0 − x 1 E = h(x 0 ) − h(x 1 ) E ≤ k x 0 − x 1 E < x 0 − x 1 E ,
d’où une contradiction. Le point fixe s’obtient comme limite de la suite
des itérés x n+1 = h(x n ) obtenue à partir d’un point quelconque x 0 de C.
Cette méthode est attribuée à Picard. La formule de récurrence x n+1 = h(x n )
définit en effet une suite d’éléments de C (et de terme général x n = h
n (x 0 ))
car C est stable par h. C’est en outre une suite de Cauchy : pour tout n ≥ 1,
x n+1 − x n E = h(x n ) − h(x n−1 ) E ≤ k x n − x n−1 E ,
d’où l’on tire par une récurrence immédiate l’inégalité
x n+1 − x n E ≤ k
n
x 1 − x 0 E ,
qui implique que la suite (x n ) est de Cauchy car la série de terme général
k
n est convergente (puisque 0 < k < 1). L’ensemble C étant complet
(comme sous-ensemble fermé d’un espace complet), la suite (x n ) est donc
convergente dans C. Soit alors x sa limite. Comme h est Lipschitzienne (de
rapport k) elle est a fortiori continue et par conséquent, en passant à la limite
dans la formule x n+1 = h(x n ), on obtient x = h(x).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit