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1 • Différentiabilité
1.3 THÉORÈME D’INVERSION LOCALE
Commençons par introduire la notion fondamentale de difféomorphisme (en fait de
C
1 -difféomorphisme, mais on omettra systématiquement le « préfixe » C
1 ). Dans tout
ce qui suit, E et F désignent des R-espaces de Banach.
Définition 1.13 Soient U et V des ouverts (non vides) de E et F respectivement.
On dit qu’une application f : U → V est un difféomorphisme (de U sur V ) si et
seulement si
i). f est une bijection,
ii). f est de classe C
1 , c’est-à-dire continûment différentiable sur U ,
iii). f
−1 est de classe C
1 sur V .
➤ Exemple
La fonction trigonométrique tan est un difféomorphisme de ] − p/2 , p/2 [ sur R.
➤ Contre-exemple
La fonction polynômiale x → x
3 n’est pas un difféomorphisme de R dans R, bien
que ce soit une bijection continûment différentiable : sa réciproque n’est en effet pas
différentiable en y = 0.
Proposition 1.14 Si f : U → V est un difféomorphisme, sa différentielle est en tout
point de U un isomorphisme de E sur F, et la différentielle de la fonction réciproque
f
−1 est liée à celle de f par la formule :
d( f
−1 )(y) =
d f ( f
−1 (y))
−1 pour tout y ∈ V .
Démonstration. Pour simplifier l’écriture, notons g = f
−1 . Par définition,
on a
g ◦ f = Id U et f ◦ g = Id V ,
d’où en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées (théorème
1.5) dg(y) ◦ d f (x) = Id E et d f (x) ◦ dg(y) = Id F pour tout x ∈ U et
y = f (x).
Corollaire 1.15 S’il existe un difféormorphisme d’un ouvert de E sur un ouvert de F,
les deux espaces sont isomorphes. En particulier, si l’un d’eux est de dimension finie,
l’autre aussi et sa dimension est la même.
Le théorème d’inversion locale fournit une sorte de réciproque de la proposition
1.14.
Théorème 1.16 Si f : U → V est de classe C
1 , si a ∈ U est tel que que d f (a)
soit un isomorphisme de E sur F, il existe un voisinage ouvert U a de a dans U et
1 • Différentiabilité
1.3 THÉORÈME D’INVERSION LOCALE
Commençons par introduire la notion fondamentale de difféomorphisme (en fait de
C
1 -difféomorphisme, mais on omettra systématiquement le « préfixe » C
1 ). Dans tout
ce qui suit, E et F désignent des R-espaces de Banach.
Définition 1.13 Soient U et V des ouverts (non vides) de E et F respectivement.
On dit qu’une application f : U → V est un difféomorphisme (de U sur V ) si et
seulement si
i). f est une bijection,
ii). f est de classe C
1 , c’est-à-dire continûment différentiable sur U ,
iii). f
−1 est de classe C
1 sur V .
➤ Exemple
La fonction trigonométrique tan est un difféomorphisme de ] − p/2 , p/2 [ sur R.
➤ Contre-exemple
La fonction polynômiale x → x
3 n’est pas un difféomorphisme de R dans R, bien
que ce soit une bijection continûment différentiable : sa réciproque n’est en effet pas
différentiable en y = 0.
Proposition 1.14 Si f : U → V est un difféomorphisme, sa différentielle est en tout
point de U un isomorphisme de E sur F, et la différentielle de la fonction réciproque
f
−1 est liée à celle de f par la formule :
d( f
−1 )(y) =
d f ( f
−1 (y))
−1 pour tout y ∈ V .
Démonstration. Pour simplifier l’écriture, notons g = f
−1 . Par définition,
on a
g ◦ f = Id U et f ◦ g = Id V ,
d’où en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées (théorème
1.5) dg(y) ◦ d f (x) = Id E et d f (x) ◦ dg(y) = Id F pour tout x ∈ U et
y = f (x).
Corollaire 1.15 S’il existe un difféormorphisme d’un ouvert de E sur un ouvert de F,
les deux espaces sont isomorphes. En particulier, si l’un d’eux est de dimension finie,
l’autre aussi et sa dimension est la même.
Le théorème d’inversion locale fournit une sorte de réciproque de la proposition
1.14.
Théorème 1.16 Si f : U → V est de classe C
1 , si a ∈ U est tel que que d f (a)
soit un isomorphisme de E sur F, il existe un voisinage ouvert U a de a dans U et