1.2 Théorème des accroissements finis
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f (x 1 +h 1 , ., x n−1 +h n−1 , x n +h n ) − f (x 1 +h 1 , ., x n−1 +h n−1 , x n ) − d n f (x)·h n
+ f (x 1 + h 1 , ., x n−1 + h n−1 , x n ) − f (x 1 , ., x n−1 , x n ) −
n−1
i=1
d i f (x) · h i .
Lorsqu’on divise cette égalité par (h 1 , . . . , h n ), le second morceau tend
vers 0 avec h d’après l’hypothèse de récurrence. Il reste à montrer que le
premier morceau tend aussi vers 0. C’est ici que va intervenir le théorème
des accroissements finis. Par hypothèse, la fonction
g : y n → f (x 1 + h 1 , . . . , x n−1 + h n−1 , y n ) − d n f (x) · (y n − x n )
est différentiable dans la boule ouverte de rayon r , centrée en x n dans l’espace E n , de différentielle définie par
dg(y n ) · h n = d n f (x 1 + h 1 , . . . , x n−1 + h n−1 , y n ) · h n − d n f (x) · h n
et donc de norme
dg(y n ) ≤ d n f (x 1 + h 1 , . . . , x n−1 + h n−1 , y n ) − d n f (x) .
Or, par hypothèse, la différentielle partielle d n f est continue au point x =
(x 1 , . . . , x n ). Soit donc ´ > 0. Il existe h ∈]0, r ] tel que
max
i∈{1,...,n}
(y − x) i E i ≤ h ⇒ d n f (y 1 , ., y n ) − d n f (x 1 , ., x n ) ≤ ´ .
Par conséquent, si max i∈{1,...,n} h i E i ≤ h,
dg(y n ) ≤ ´ pour y n − x n E n ≤ h ,
et le théorème des accroissements finis (appliqué à g dans la boule de centre
x n et de rayon h, qui est bien convexe) implique
g(x n + h n ) − g(x n ) F ≤ ´ h n E n .
Grâce à l’inégalité triangulaire, on en déduit qu’il existe h 1 ≤ h tel que
max i∈{1,...,n} h i E i ≤ h 1 implique
f (x + h) − f (x) −
n
i=1
d i f (x) · (h i )
F
≤ ´ ( h 1 E 1 + · · · + h n E n ) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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f (x 1 +h 1 , ., x n−1 +h n−1 , x n +h n ) − f (x 1 +h 1 , ., x n−1 +h n−1 , x n ) − d n f (x)·h n
+ f (x 1 + h 1 , ., x n−1 + h n−1 , x n ) − f (x 1 , ., x n−1 , x n ) −
n−1
i=1
d i f (x) · h i .
Lorsqu’on divise cette égalité par (h 1 , . . . , h n ), le second morceau tend
vers 0 avec h d’après l’hypothèse de récurrence. Il reste à montrer que le
premier morceau tend aussi vers 0. C’est ici que va intervenir le théorème
des accroissements finis. Par hypothèse, la fonction
g : y n → f (x 1 + h 1 , . . . , x n−1 + h n−1 , y n ) − d n f (x) · (y n − x n )
est différentiable dans la boule ouverte de rayon r , centrée en x n dans l’espace E n , de différentielle définie par
dg(y n ) · h n = d n f (x 1 + h 1 , . . . , x n−1 + h n−1 , y n ) · h n − d n f (x) · h n
et donc de norme
dg(y n ) ≤ d n f (x 1 + h 1 , . . . , x n−1 + h n−1 , y n ) − d n f (x) .
Or, par hypothèse, la différentielle partielle d n f est continue au point x =
(x 1 , . . . , x n ). Soit donc ´ > 0. Il existe h ∈]0, r ] tel que
max
i∈{1,...,n}
(y − x) i E i ≤ h ⇒ d n f (y 1 , ., y n ) − d n f (x 1 , ., x n ) ≤ ´ .
Par conséquent, si max i∈{1,...,n} h i E i ≤ h,
dg(y n ) ≤ ´ pour y n − x n E n ≤ h ,
et le théorème des accroissements finis (appliqué à g dans la boule de centre
x n et de rayon h, qui est bien convexe) implique
g(x n + h n ) − g(x n ) F ≤ ´ h n E n .
Grâce à l’inégalité triangulaire, on en déduit qu’il existe h 1 ≤ h tel que
max i∈{1,...,n} h i E i ≤ h 1 implique
f (x + h) − f (x) −
n
i=1
d i f (x) · (h i )
F
≤ ´ ( h 1 E 1 + · · · + h n E n ) .
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