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1 • Différentiabilité
la i-ème différentielle partielle de f . Alors d i f est continue sur U , comme
composée des fonctions continues
d f : U → L(E; F)
x → d f (x)
et L(E; F) → L(E i ; F)
→ (h i → (0, ., 0, h i , 0, ., 0) ) .
C’est la réciproque qui fait appel au théorème des accroissements finis.
Supposons que pour tout i ∈ {1, . . . , n} la différentielle partielle d i f existe
et soit continue. Alors l’application
U → L(E; F)
x →
(h 1 , . . . , h n ) →
n
i=1
d i f (x) · h i
est bien continue comme composée des fonctions continues
U → L(E 1 ; F) × · · · × L(E n ; F)
x →
(d 1 f (x), . . . , d n f (x))
(fonction à valeurs dans un produit dont chaque composante est continue) et
L(E 1 ; F) × · · · × L(E n ; F) → L(E; F)
(
1 , . . . , ,
n )
→
(h 1 , . . . , h n ) →
n
i=1
i (h i )
(application linéaire continue). Il s’agit de montrer que f est différentiable,
de différentielle précisément définie par
d f (x) · h =
n
i=1
d i f (x) · h i
pour tout x ∈ U et pour tout h = (h 1 , . . . , h n ) ∈ E. Raisonnons par
récurrence sur n. Le cas n = 1 est évident : si E = E 1 , d f (x) · h =
d 1 f (x) · h 1 pour tout x ∈ U et pour tout h = h 1 ∈ E. Supposons n ≥ 2
et le résultat démontré pour les fonctions définies sur un ouvert d’espace
produit de (n − 1) espaces. Soient x ∈ U et r > 0 tels que
max
i∈{1,...,n}
(y − x) i E i ≤ r ⇒ y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ U .
Pour tout h = (h 1 , . . . , h n ) ∈ E tel que max i∈{1,...,n} h i E i ≤ r , on a
f (x + h) − f (x) −
n
i=1
d i f (x) · h i =