1.2 Théorème des accroissements finis
23
Rappelons d’abord la notion de connexité.
Définition 1.10 Un sous-ensemble d’un espace topologique (par exemple un espace
de Banach) est connexe s’il n’admet pas de sous-ensemble à la fois ouvert et fermé
autre que l’ensemble vide et lui-même.
Théorème 1.11 Soit f : U ⊂ E → F une fonction différentiable sur un ouvert
connexe U , telle que d f (x) ≡ 0 pour tout x ∈ U . Alors f est constante.
Démonstration. Quel que soit x ∈ U , il existe r > 0 tel que la boule
ouverte de centre x et de rayon r , B(x; r ) soit incluse dans U . Cette boule est
convexe (cela se vérifie grâce à l’inégalité triangulaire), et puisque d f ≡ 0,
le théorème des accroissements finis montre que f (y) = f (x) quel que
soit y ∈ B(x; r ) : cela signifie que f est localement constante. Comme
U est connexe, cela implique que f est constante. En effet, fixons x ∈
U . L’ensemble f
−1 ({ f (x)}) ⊂ U est non vide puisqu’il contient x, et
fermé par continuité de f (le singleton { f (x)} étant fermé). D’après ce qui
précède, cet ensemble est aussi ouvert. Puisque U est connexe, on a donc
f
−1 ({ f (x)}) = U . Autrement dit, f (y) = f (x) pour tout y ∈ U .
Théorème 1.12 Soient E 1 , . . . , E n des espaces vectoriels normés, et E = E 1 ×· · ·×
E n . Une fonction
f :
U ⊂ E
→ F
x = (x 1 , . . . , x n ) → f (x)
est continûment différentiable si et seulement si pour tout i ∈ {1, . . . , n} et pour tout
x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ U , l’application partielle
y i → (x 1 , . . . , x i−1 , y i , x i+1 , . . . , x n )
est différentiable en y i = x i et sa différentielle définit une fonction (appelée différentielle partielle) continue de U dans L(E i ; F).
Démonstration. Commençons par le sens facile, qui complète ce que l’on
a vu auparavant sur les différentielles partielles. Si f est continûment différentiable, quels que soient i ∈ {1, . . . , n} et x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ U ,
l’application partielle g : y i → (x 1 , . . . , x i−1 , y i , x i+1 , . . . , x n ) est différentiable en y i = x i , de différentielle définie par
dg(x i ) · h i = d f (x) · (0, . . . , 0, h i , 0, . . . , 0)
pour tout h i ∈ E i . Notons d i f (x) ∈ L(E i ; F) l’application définie comme
ci-dessus par d i f (x) · h i = d f (x)(0, . . . , 0, h i , 0, . . . , 0), et
d i f : U → L(E i ; F)
x → d i f (x)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
23
Rappelons d’abord la notion de connexité.
Définition 1.10 Un sous-ensemble d’un espace topologique (par exemple un espace
de Banach) est connexe s’il n’admet pas de sous-ensemble à la fois ouvert et fermé
autre que l’ensemble vide et lui-même.
Théorème 1.11 Soit f : U ⊂ E → F une fonction différentiable sur un ouvert
connexe U , telle que d f (x) ≡ 0 pour tout x ∈ U . Alors f est constante.
Démonstration. Quel que soit x ∈ U , il existe r > 0 tel que la boule
ouverte de centre x et de rayon r , B(x; r ) soit incluse dans U . Cette boule est
convexe (cela se vérifie grâce à l’inégalité triangulaire), et puisque d f ≡ 0,
le théorème des accroissements finis montre que f (y) = f (x) quel que
soit y ∈ B(x; r ) : cela signifie que f est localement constante. Comme
U est connexe, cela implique que f est constante. En effet, fixons x ∈
U . L’ensemble f
−1 ({ f (x)}) ⊂ U est non vide puisqu’il contient x, et
fermé par continuité de f (le singleton { f (x)} étant fermé). D’après ce qui
précède, cet ensemble est aussi ouvert. Puisque U est connexe, on a donc
f
−1 ({ f (x)}) = U . Autrement dit, f (y) = f (x) pour tout y ∈ U .
Théorème 1.12 Soient E 1 , . . . , E n des espaces vectoriels normés, et E = E 1 ×· · ·×
E n . Une fonction
f :
U ⊂ E
→ F
x = (x 1 , . . . , x n ) → f (x)
est continûment différentiable si et seulement si pour tout i ∈ {1, . . . , n} et pour tout
x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ U , l’application partielle
y i → (x 1 , . . . , x i−1 , y i , x i+1 , . . . , x n )
est différentiable en y i = x i et sa différentielle définit une fonction (appelée différentielle partielle) continue de U dans L(E i ; F).
Démonstration. Commençons par le sens facile, qui complète ce que l’on
a vu auparavant sur les différentielles partielles. Si f est continûment différentiable, quels que soient i ∈ {1, . . . , n} et x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ U ,
l’application partielle g : y i → (x 1 , . . . , x i−1 , y i , x i+1 , . . . , x n ) est différentiable en y i = x i , de différentielle définie par
dg(x i ) · h i = d f (x) · (0, . . . , 0, h i , 0, . . . , 0)
pour tout h i ∈ E i . Notons d i f (x) ∈ L(E i ; F) l’application définie comme
ci-dessus par d i f (x) · h i = d f (x)(0, . . . , 0, h i , 0, . . . , 0), et
d i f : U → L(E i ; F)
x → d i f (x)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit