22
1 • Différentiabilité
Alors
f (x) − f (y) F ≤ | w(x) − w(y) | quel que soit (x, y) ∈ I × I .
(1.7)
1.2.2 Cas général
Comme précédemment, E et F désignent des R-espaces vectoriels normés.
Théorème 1.9 Soit f : U ⊂ E → F une fonction différentiable sur un ouvert
convexe U . On suppose qu’il existe k > 0 tel que d f (u) ≤ k quel que soit
u ∈ U . Alors
f (x) − f (y) F ≤ k x − y E quel que soit (x, y) ∈ U × U .
(1.8)
Démonstration. Fixons (x, y) ∈ U × U . La convexité de U assure que le
segment d’extrémités x et y est inclus dans U (au besoin voir la définition
3.7 p. 80), et d’après les hypothèses sur f , la fonction d’une variable réelle
g : [0, 1] → F
t
→ f ( x + t ( y − x ) )
est dérivable, de dérivée
g
(t) = d f ( x + t ( y − x ) ) · ( y − x ) ,
satisfaisant la majoration g
(t) F ≤ k y − x E pour tout t ∈ [0, 1].
D’après le théorème 1.7, on en déduit
f (y) − f (x) F = g(1) − g(0) F ≤ k y − x E .
Remarque : La démonstration donne en fait l’inégalité plus fine
f (y) − f (x) F ≤ sup
t∈[0,1]
d f ( x + t ( y − x ) ) y − x E .
1.2.3 Premières applications
Le théorème des accroissements finis a de nombreuses applications. Nous nous limiterons ici aux applications fondamentales que sont
• la caractérisation des fonctions de différentielle nulle sur les ouverts connexes,
• la caractérisation des fonctions de classe C
1 sur un produit cartésien.
1 • Différentiabilité
Alors
f (x) − f (y) F ≤ | w(x) − w(y) | quel que soit (x, y) ∈ I × I .
(1.7)
1.2.2 Cas général
Comme précédemment, E et F désignent des R-espaces vectoriels normés.
Théorème 1.9 Soit f : U ⊂ E → F une fonction différentiable sur un ouvert
convexe U . On suppose qu’il existe k > 0 tel que d f (u) ≤ k quel que soit
u ∈ U . Alors
f (x) − f (y) F ≤ k x − y E quel que soit (x, y) ∈ U × U .
(1.8)
Démonstration. Fixons (x, y) ∈ U × U . La convexité de U assure que le
segment d’extrémités x et y est inclus dans U (au besoin voir la définition
3.7 p. 80), et d’après les hypothèses sur f , la fonction d’une variable réelle
g : [0, 1] → F
t
→ f ( x + t ( y − x ) )
est dérivable, de dérivée
g
(t) = d f ( x + t ( y − x ) ) · ( y − x ) ,
satisfaisant la majoration g
(t) F ≤ k y − x E pour tout t ∈ [0, 1].
D’après le théorème 1.7, on en déduit
f (y) − f (x) F = g(1) − g(0) F ≤ k y − x E .
Remarque : La démonstration donne en fait l’inégalité plus fine
f (y) − f (x) F ≤ sup
t∈[0,1]
d f ( x + t ( y − x ) ) y − x E .
1.2.3 Premières applications
Le théorème des accroissements finis a de nombreuses applications. Nous nous limiterons ici aux applications fondamentales que sont
• la caractérisation des fonctions de différentielle nulle sur les ouverts connexes,
• la caractérisation des fonctions de classe C
1 sur un produit cartésien.