1.2 Théorème des accroissements finis
21
C’est un ensemble ouvert (car f est continue) dans [x, y], dont on veut
montrer qu’il est vide.
Supposons que O ne soit pas vide, et soit alors t sa borne inférieure. Comme
l’inégalité (1.6) est vraie au voisinage de x (par continuité de l’application
t → → f (t) − f (x) F − ( k + ´ ) ( t − x ) ,
qui vaut évidemment 0 en t = x), on a t > x, et donc t = inf O ne peut
pas être dans l’ouvert O (si t > x et si t appartient à O, [x, t[∩O est non
vide, donc t ne minore pas O et ne peut par conséquent pas être la borne
inférieure de O). Donc
f (t) − f (x) F ≤ ( k + ´ ) ( t − x ) + ´ .
D’autre part, d’après la dérivabilité de f en t, il existe h > 0 tel que pour
tout t ∈]t , t + h],
k ≥ ≥ f
(t) F ≥
f (t) − f (t) F
|t − t|
− ´ ,
d’où
f (t) − f (t) F ≤ ( k + ´ ) ( t − t ) .
Par l’inégalité triangulaire, on en déduit
f (t) − f (x) F ≤ ( k + ´ ) ( t − x ) + ´
pour t ∈ [t , t + h], c’est-à-dire que [t , t + h] ∩ O est vide. Or t < y
(si ce n’était pas le cas, O serait réduit au singleton {y}, qui n’est pas
ouvert dans [x, y]) donc pour h assez petit, t + h < y. Par conséquent,
[t , t + h] ∩ O = ∅ montre que t + h est un minorant de O strictement
plus grand que t : ceci contredit le fait que t soit la borne inférieure de O.
Remarque : Le résultat s’applique même pour x et y au bord de l’intervalle I , à
condition que f soit continue sur l’intervalle fermé I et qu’on ait une estimation
de f
sur l’intervalle ouvert I . En effet, dans la démonstration, l’ensemble O
reste un ouvert dont la borne inférieure, s’il est non vide, appartient à l’intervalle
ouvert ] x , y [.
La même méthode de démonstration permet de montrer le résultat plus général
suivant.
Théorème 1.8 Soit f : I ⊂ R → F une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I et à valeurs dans un R-espace de Banach F. On suppose qu’il existe une
fonction w : I → R dérivable telle que
f
(t) F ≤ w
(t) quel que soit t ∈ I .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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C’est un ensemble ouvert (car f est continue) dans [x, y], dont on veut
montrer qu’il est vide.
Supposons que O ne soit pas vide, et soit alors t sa borne inférieure. Comme
l’inégalité (1.6) est vraie au voisinage de x (par continuité de l’application
t → → f (t) − f (x) F − ( k + ´ ) ( t − x ) ,
qui vaut évidemment 0 en t = x), on a t > x, et donc t = inf O ne peut
pas être dans l’ouvert O (si t > x et si t appartient à O, [x, t[∩O est non
vide, donc t ne minore pas O et ne peut par conséquent pas être la borne
inférieure de O). Donc
f (t) − f (x) F ≤ ( k + ´ ) ( t − x ) + ´ .
D’autre part, d’après la dérivabilité de f en t, il existe h > 0 tel que pour
tout t ∈]t , t + h],
k ≥ ≥ f
(t) F ≥
f (t) − f (t) F
|t − t|
− ´ ,
d’où
f (t) − f (t) F ≤ ( k + ´ ) ( t − t ) .
Par l’inégalité triangulaire, on en déduit
f (t) − f (x) F ≤ ( k + ´ ) ( t − x ) + ´
pour t ∈ [t , t + h], c’est-à-dire que [t , t + h] ∩ O est vide. Or t < y
(si ce n’était pas le cas, O serait réduit au singleton {y}, qui n’est pas
ouvert dans [x, y]) donc pour h assez petit, t + h < y. Par conséquent,
[t , t + h] ∩ O = ∅ montre que t + h est un minorant de O strictement
plus grand que t : ceci contredit le fait que t soit la borne inférieure de O.
Remarque : Le résultat s’applique même pour x et y au bord de l’intervalle I , à
condition que f soit continue sur l’intervalle fermé I et qu’on ait une estimation
de f
sur l’intervalle ouvert I . En effet, dans la démonstration, l’ensemble O
reste un ouvert dont la borne inférieure, s’il est non vide, appartient à l’intervalle
ouvert ] x , y [.
La même méthode de démonstration permet de montrer le résultat plus général
suivant.
Théorème 1.8 Soit f : I ⊂ R → F une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I et à valeurs dans un R-espace de Banach F. On suppose qu’il existe une
fonction w : I → R dérivable telle que
f
(t) F ≤ w
(t) quel que soit t ∈ I .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit